UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5261 - ALGEBRA I
PRÉ-REQUISITO(S): MTM5505
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 6
Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108
SEMESTRE:2002/1
CURSO(S): Bacharelado em Matemática e Computação Científica.
EMENTA: Anel dos inteiros. Anel dos inteiros módulo n. Definição axiomática de anel e corpo. Subanéis e ideais. Anéis quociente. Homomorfismos. Corpo de fracões de um domínio. Divisibilidade, fatoração única e MDC em domínios. Anéis quadráticos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1 - Anel dos Inteiros
- Operações e propriedades.
- Princípio da boa ordem.
- Princípios de Indução
- Algoritmo da divisão
- Ideais e MDC. Equações Diofantinas e Teorema de Bezout.
- Números primos e ideais maximais.
- Fatorização única.
2 - Anel dos inteiros módulo n.
- Congruência módulo n.
- Operações em Zn e propriedades.
- Função de Euler e determinação dos elementos inversíveis de Zn.
- Divisores de zero, nilpotentes, idempotentes em Zn.
- teorema Chinês de Restos.
3 - Definição Axiomática de Anel
- Definição de anel corpo e domínio. Exemplos
- O corpo dos números complexos.
- Subanéis, subcorpos e ideais (à esquerda, à direita e bilaterais)
- Anéis quociente.
- Homomorfismos: monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, automorfismo. Teorema do homomorfismo.
3 - Anéis Quadráticos
- Definição e exemplos. Função norma e propriedades. Elementos inversíveis.
- Inteiros de Gauss: algoritmo da divisão, elementos primos, máximo divisor comum.
- Exemplos de anéis onde elementos irredutíveis não são necessariamente primos.
4 - Fatorização Única em Domínios
- Divisibilidade. Elementos inversíveis, elementos associados, elementos irredutíveis e elementos primos.
- Corpo de frações de um domínio.
- Ideais primos e maximais.
- Anéis euclidianos.
- Anéis com MDC.
- Anéis principais.
- Fatorização única.
BIBLIOGRAFIA
- Domingues, H. H. - Álgebra Moderna, 2ª ed., Atual Editora Ltda, SP, 1982.
- Garcia, A. e Lequain, Y. – Álgebra: um curso de introdução, IMPA, RJ, 1988.
- Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, IMPA, RJ, 2002.
- Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, IMPA, RJ, 1999.
- Hefez, A. - Curso de Álgebra, vol. I, Coleção Matemática Universitária, IMPA/CNPq, RJ, 1993.
- Herstein, I. - Tópicos de álgebra , Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono., 1970.
- Milies , F. C. P. e Coelho, S. P. - Números: uma introdução à matemática, 1ª Ed., USP, SP, 1998.
- Monteiro, L. H. J. - Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos, RJ, 1978.