CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARÁVEL

Os seguintes problemas envolvem a continuidade de funções de uma variável.Uma função y = f(x) é contínua em um ponto x=a se as seguintes três condições são verseicadas:

i.) f(a) está definida,

ii.) $\déplaystyle{ \lim_{ x \to a } \ f(x) }$ exéte (i.e., é finito) ,

e

iii.) $\déplaystyle{ \lim_{ x \to a } \ f(x) } = f(a)$ .

Uma função f é dita ser contínua no intervalo I se f é contínua em cada ponto x em I. Aqui está uma lista de alguns fatos bem conhecidos relacionados a continuidade:

1. A SOMA de funções contínuas é contínua.

2. A DIFERENÇA de funções contínuas é contínua.

3. O PRODUTO de funções contínuas é contínua.

4. O QUOCIENTE de funções contínuas é contínua em todos os pontos x aonde o DENOMINADOR NÃO é ZERO.

5. A COMPOSIÇÃO de funções contínuas é contínua em todos os pontos x onde a composição está propriamente definida.

6. Qualquer polinômio é contínuo para todos os valores de x.

7. A função e^x e as funções trigonométricas $\sin x$ e $\cos x$ são contínua para todos os valores de x.

• PROBLEMA 1 : Determine se a seguinte função é contínua em x=1 .

  $f(x) = \cases{ 3x-5 ,& se $\space x \ne 1 $\space \cr \ \ \ \ 2 \ \ \ ,& se $ x = 1 $\space }$

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• PROBLEMA 2 : Determine se a seguinte função é contínua em x=-2 .

  $f(x) = \cases{ x^2+2x ,& se $\space x \le -2 $\space \cr x^3-6x ,& se $ x > -2 $\space }$

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• PROBLEMA 3 : Determine se a seguinte função é contínua em x=0 .

  $f(x) = \cases{ \ \ \ \déplaystyle{ x-6 \over x-3 } ,& se $\space x < 0 $\spac... ... 2 \ \ \ \ ,& se $ x = 0 $\space \cr \sqrt{ 4 + x^2 },& se $ x > 0 $\space }$

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• PROBLEMA 4 : Determine se a função $h(x) = \déplaystyle{ x^2 + 1 \over x^3+1 }$ é contínua at x=-1 .

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• PROBLEMA 5 : Check the following function for continuity at x=3 and x=-3 .

  $f(x) = \cases{ \ \ \ \déplaystyle{ x^3-27 \over x^2-9 } ,& se $\space x \ne 3... ...r \ \ \ \ \ \ \ \ \déplaystyle{ 9 \over 2 } \ \ \ \ ,& se $ x = 3 $\space }$

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• PROBLEMA 6 : Para que valores de x a função é $f(x) = \déplaystyle{ x^2 + 3x + 5 \over x^2 + 3x -4 }$ contínua ?

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• PROBLEMA 7 : Para que valores de x a função é $g(x) = ( \sin(x^{20}+5) )^{1/3}$ contínua ?

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• PROBLEMA 8 : Para que valores de x a função é $f(x) = \sqrt{ x^2 - 2x }$ contínua ?

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• PROBLEMA 9 : Para que valores de x a função é $f(x) = \ln \Big( \déplaystyle{ x-1 \over x+2 } \Big)$ contínua ?

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• PROBLEMA 10 : Para que valores de x a função é $f(x) = \déplaystyle{ e^{ \sin x } \over 4 - \sqrt{ x^2 - 9 } }$ contínua ?

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• PROBLEMA 11 : Para que valores de x é aseguinte função contínua ?

  $f(x) = \cases{ \déplaystyle{ x-1 \over \sqrt{ x } - 1 } \ ,& se $\space x > 1... ... x \le 1 $\space \cr \déplaystyle{ 6 \over x-4 } \ ,& se $ x < -2 $\space }$

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• PROBLEMA 12 : Determine todos os valores da constante A para que a seguinte função seja contínua para todos os valores de x .

  $f(x) = \cases{ A^2 x - A \ ,& se $\space x \ge 3 $\space \cr \ \ \ \ \ \ 4 \ \ \ ,& se $ x < 3 $\space }$

  Clique AQUI to para ver uma solução detalhada do problema 12.
  
  
  
  
  

• PROBLEMA 13 : Determine todos os va;ores das constantes A e B para que a função seja contínua para todos os valores de x .

  $f(x) = \cases{ \ \ \ \ Ax - B \ ,& se $\space x \le -1 $\space \cr 2x^2 + 3A... ...f $ -1 < x \le 1 $\space \cr \ \ \ \ \ \ \ \ 4 \ \ \ ,& se $ x > 1 $\space }$

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• PROBLEMA 14 : Mostre que a seguinte função é contínua para todos os valores de x .

  $f(x) = \cases{ e^{ -1/x^2 } ,& se $\space x \ne 0 $\space \cr \ \ \ \ 0 \ \ \ ,& se $ x = 0 $\space }$

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• PROBLEMA 15 : Seja

  $f(x) = \cases{ x^2 \cos \Big( \déplaystyle{ 1 \over x } \Big) ,& se $\space x \ne 0 $\space \cr \ \ \ \ 0 \ \ \ ,& se $ x = 0 $\space . }$

  Mostre que f é contínua para todos os valores de x . Mostre que f é diferenciável para todos os valores de x, mas que a derivada , f' , NÃO é contínua em x=0 .

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