Propriedades gerais

Como antes denotamos por a $\sigma$-álgebra dos mensuráveis em $\mathscr{R}^n$ e por $\mathfrak{m}$ a medida de Lebesgue.

Lema 3.1.1   Seja $A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) } .$ Então vale

$$\ensuremath{\mathfrak{m} (A)} =\inf\left\{ \ensuremath{\mathf... ...} (U)}\mid U \: \text{\'e }\:{\rm aberto}\: U\supset A\right\}$$

Prova. (Exercícios)

Lema 3.1.2   Seja U um aberto. Então

$$\ensuremath{\mathfrak{m} (U)} =\sup\left\{ \ensuremath{\mathfrak{m} (K)}\mid K\subset U, K\: {\rm compacto}\right\}.$$

Lema 3.1.3   Se $A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$ então

$$\ensuremath{\mathfrak{m} (A)} =\sup\{ \ensuremath{\mathfrak{m} (K)}\: ;\: K\subset A,\; K\:{\rm compacto}\}$$

Corolário 3.1.1   Dado $A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$ existem boreleanos $B\subset A\subset C$ tais que

$$\ensuremath{\mathfrak{m} (C-B)} =0$$

com $B=\bigcup_{i=1}^{\ensuremath{\infty } } F_i$, F_i fechado e $C=\bigcap_{i=1}^{\ensuremath{\infty } } U_i$, U_i aberto.

Seja $\mathscr{C}_k$ a família de cubos da forma

$$\left\{\,(x_1,\ldots,x_n)\: ;\: \frac{j_i}{2^k}\le x_i< \frac{j_i+1}{2^k}, \:\: i=1\ldots n\,\right\}$$

onde $j_1\ldots j_n$ são inteiros arbitrários. É imediato ver que $\mathscr{C}_k$ é uma partição enumerável de e que se k<lentão todo cubo de $\mathscr{C}_l$ está contido em algum cubo de $\mathscr{C}_k$.

Lema 3.1.4   Seja $U\in\ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ um aberto. Então, U é uma união enumerável disjunta de elementos de $\mathop{\cup}\limits_{k=1}^\ensuremath{\infty }\mathscr{C}_k$.

Lema 3.1.5   Seja $\mu:\ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }\rightarrow [0,\ensuremath{\infty } ]$ uma medida tal que

$$\mu(C)={\rm vol}(C)$$

para todo cubo de . Então $\mu=\mathfrak{m}$.

Definição 3.1.1   Dado $a\in \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ definimos a translação T_a como a aplicação $T_a:\ensuremath {\mathbb{R} ^n }\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ tal que

T_a(x)=a+x.

Lema 3.1.6   $\mathfrak{m} ^*$ é invariante por translações, isto é se $A\subset \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ e $x\in \ensuremath {\mathbb{R} ^n }$ vale:

$$\mathfrak{m} ^*(A)=\mathfrak{m} ^*(x+A)$$

O seguinte lema caracteriza as medidas invariantes por translações que sejam finitas sobre os limitados.

Lema 3.1.7   Seja $\mu:\ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }\rightarrow [0,+\ensuremath{\infty } ]$ uma medida invariante por trans- lações e finita sobre todo mensurável limitado. Então, existe $c\ge 0$ tal que

$$\mu=c\,\mathfrak{m}$$

isto é $\mu(A)=c\ensuremath{\mathfrak{m} (A)}$ para qualquer $A\in \ensuremath{\boldsymbol{ \mathscr{M} }(\mathbb{R} ^n) }$.