Use na resolução dos itens abaixo, a linguagem simbólica da Matemática.

1.1) Calcule a imagem, por  f, dos vetores u = (– 1, 2) e v = (1, 3) e a soma dessas imagens;

1.2) Calcule a imagem, por  f, da soma dos vetores u e v;

1.3) Calcule a imagem, por  f, do vetor u multiplicado por 3;

1.4) Multiplique a imagem de u por 3;

1.5) Para os vetores e escalar dados nos exercícios acima, as operações de soma e o produto por escalar são preservadas pela função  f ? Por quê?

1.6) O que fizemos acima pode ser aceito com a prova de que  f é linear? Se não, faça a prova;

1.7) Escreva o conjunto Dom(f ), domínio de  f;

1.8) Escreva o conjunto CDom(f ), contra-domínio de  f;

1.9) Qual dos vetores r = (5, 6, – 2) e s = (3, – 4, 6) está no conjunto Im(f ), imagem de  f ? Justifique;

1.10) Escreva o vetor que define as imagens, por f, como uma combinação linear de coeficientes x e y;

1.11) Escreva, a partir da combinação linear acima, um conjunto gerador do subespaço Im(f );

1.12) A partir do conjunto gerador da imagem, obtenha uma base para o subespaço Im(f ) e dê a dimensão desse subespaço;

1.13) Escreva o conjunto Im(f );

1.14) Verifique quais dos vetores p = (2, 5) e q = (0, 0) estão no conjunto Nu(f ), núcleo de f;

1.15) Escreva o subespaço Nu(f ), uma de suas bases e a sua dimensão;

1.16) Verifique a propriedade das dimensões: dimNu(f ) + dimIm(f ) = dimDom(f );

1.17) Faça uma representação geométrica dos espaços domínio e contra-domínio da transformação f e, sobre eles, dos subespaços núcleo e imagem da f;

1.18) A matriz ou , canônica de f, atua através do produto dela pelo vetor das coordenadas, em relação à base canônica, dos vetores do domínio, da mesma forma que a lei de  f. Isso ocorre pois o produto descrito fornece o vetor das coordenadas das imagens desses vetores, também em relação à base canônica, do contra-domínio. Confirme isso, escrevendo a matriz canônica de f e calculando, com ela,  f (2, 3). Depois, confronte o resultado com o que se obtém aplicando a lei.

 

2) Para que possamos assegurar-nos da linearidade de uma função vetorial, precisamos ter bem presente a definição de função linear. Lembre que, em 2.1.16, a propriedade 1 das transformações lineares pode identificar rapidamente a não linearidade de alguns casos.

Vamos aplicar esses conceitos para reconhecer se as funções abaixo são ou não lineares. Para as que não são lineares, dê um contra-exemplo como justificativa. Para as lineares, faça a prova da linearidade, determine os subespaços imagem e núcleo, escreva uma base para cada um deles e dê as suas dimensões.

2. 1) ;

2. 2) ;

2. 3) ;

2. 4) ;

2. 5) ;

2. 6) ;

3) Seja definida por . Prove que L é linear e encontre uma base para os subespaços Nu(L) e Im(L). Confirme, depois, a propriedade das dimensões:

dim Nu(L) + dim Im(L) = dim Dom(L).

4) Na propriedade 2 das transformações lineares, vimos que uma função linear está completamente definida se conhecemos como ela atua nos vetores de uma base do espaço domínio. Retome essa propriedade para fundamentar a resolução dos exercícios que seguem.

4.1) Considere as bases do R², A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(– 1, 1), (1, – 2)}, e a função f tal que:

f (1, 0) = (1, – 2),          f (0, 1) = (1, 1),          f (– 1, 1) = (0, 3)      e     f (1, – 2) = (– 1, – 4).

4.1.1) Calcule a imagem, por f, do vetor v = (2, – 5) de dois modos: primeiro, utilizando as imagens dos vetores da base A e, depois, utilizando as imagens dos vetores da base B;

4.1.2) Determine, também pelos dois modos sugeridos acima, a lei de f, ou seja, f (x, y).

4.2) Sendo T: P ₂ ® P ₃, uma função linear e T(1) = 1, T(t) = t² e T(t²) = t³ + t, obtenha

4.2.1) T(2t² – 5t + 3);

4.2.2) T(at² + bt + c).

 

5) Challenge. Find a linear transformation T: R³ ® R³ such that range of T is {(x, y, z); 2x – y + z = 0}.

6) No tópico 2.3 estabelecemos como uma transformação linear T: V® W pode ser expressa, de modo único, por uma matriz , em relação às bases a e b , de V e de W, respectivamente. Vimos que cada coluna j de corresponde às coordenadas da imagem do j-ésimo vetor da base a , de V, em relação à base b , de W. A partir disso e do nosso material de aula, vamos obter as correspondentes matrizes das transformações abaixo, em relação às bases dadas.

6.1) Obter a matriz ou , em relação às bases canônicas de R² e R³, de T₁(x, y) = (x, 0, x – y);

6.2) Ainda para T₁ dada acima, obter a matriz , em relação às bases A = {(1, – 1), (1, 1)} de R² e B = {(1, 0 –1), (1, 1, 2), (– 1, 1, 1)} de R³.

7) Observe, em 6, que as matrizes não são as mesmas, mas têm a mesma finalidade: fornecer as coordenadas da imagem, em relação à base do espaço contra-domínio, de um vetor qualquer do domínio, através do produto da matriz da transformação pelas coordenadas desse vetor em relação à base do espaço domínio. O esquema abaixo expressa o que se obtém, e de que modo se obtém, usando a lei ou uma correspondente matriz da lei.

Considere a função linear f : V® W e a e b bases de V e de W, respectivamente.

Para T₁ definida em 6 e v = (1, – 3) calcule T₁(v) usando:

8) Seja T: P₃ ® R⁴ definida por

8.1) Mostre que T é uma transformação linear;

8.2) Determine a matriz de T, relativa às bases canônicas de P₃ e de R⁴.

9) Sejam a = {e₁, e₂, e₃} a base canônica para o R³, b = {b₁, b₂, b₃} uma base para o espaço vetorial V e T:R^3® V uma transformação linear que satisfaz T(x₁, x₂, x₃) = (x₃ – x₂)b₁ – (x₁ + x₃)b₂ + (x₁ – x₂)b₃

9.1) Calcule as imagens T(e₁), T(e₂) e T(e₃) dos vetores e₁, e₂ e e₃, respectivamente;

9.2) Escreva [T(e₁)]_b , [T(e₂)]_b e [T(e₃)]_b , ou seja, as coordenadas das imagens calculadas no item 9.1, em relação à base b ;

9.3) Determine a matriz de T relativa às bases a e b .

10) A transformação linear plana que produz uma rotação de ângulo q nos vetores em que é aplicada, pode ser representada pela matriz .

11) Considere o ponto A(1, 2). Sabe-se que o vetor OA, onde O é a origem do sistema cartesiano, e o vetor OB definem um paralelogramo. O vetor OB é obtido através de uma dilatação do vetor OA, no sentido do mesmo, de fator 3/2, seguida por uma rotação de rad no sentido horário.

Calcule a área, aproximada, do paralelogramo definido.

12) Os pontos A(1, 1), B(1, 4), C(5, 4) e D(5, 1) são vértices de um retângulo situado no primeiro quadrante.

12.1) Encontre os vértices do quadrilátero A₁B₁C₁D₁, obtido quando o retângulo ABCD sofre uma contração de fator 2 ao longo do eixo Ox. Exiba a matriz da transformação .

12.2) Obtenha o quadrilátero A₂B₂C₂D₂, através da reflexão de A₁B₁C₁D₁ em relação à bissetriz dos quadrantes pares. Exiba a matriz da transformação .

12.3) Através de um cisalhamento de fator – 3 ao longo do eixo das ordenadas aplicado ao quadrilátero A₂B₂C₂D₂, obtenha A₃B₃C₃D₃. Novamente, exiba a matriz que representa essa transformação.

12.4) Represente os quatro quadriláteros no mesmo sistema cartesiano.

12.5) Encontre a matriz [T] que representa a seqüência de transformações aplicadas. Utilize [T] para obter A₃B₃C₃D₃ a partir de ABCD.

 

13) Let ABCD be a rectangle whit A(– 4, 6) and B(– 1, 6). The diagonals and have the intersection in P(– 5/2, 4). Let T be the linear transformation that represents a shear along the x-axis with factor – 3 follow by a reflection about the line y = x. Draw the ABCD rectangle.

Write the 2x2 matrix representation of the given linear transformation and draw a sketch of the region obtained when the transformation is applied to the given rectangle.

Clique aqui para download deste material