1) Um operador linear T:V® V tem um autovalor l Î R se existe vÎ V, v ¹ 0, tal que T(v) = l .v. Tal vetor v é dito um autovetor de T associado ao autovalor l .

T(x, y) = (2x + 4y, 3x + y)

Associe, geometricamente, cada vetor dado no domínio de T à sua imagem no contradomínio.

Podemos observar que:

A imagem T(u) = T(.......,.......) = ................... é ............. vezes u = (.......,.......).

A imagem T(2u) = 2 T(u) = (.......,.......) é .................. vezes 2u = (.......,.......).

Assim, u = (.......,.......) satisfaz a equação T(u) = l .u, para l = .........., ou seja, u é um ........................................ de T associado ao autovalor ......................... .

Isso vale também para 2u = (.......,.......) pois T(2u) = ......... (2u) e, então, 2u é um ............................................ de T associado ao autovalor ......................... .

Também v, v, k.v, " kÎ R*, são autovetores de T associados ao autovalor l = .............. .

O vetor w = (.......,.......) é tal que T(w) = (.......,.......) ¹ l .w, para todo l Î R. Então w ............ um autovetor de T.

2) Sendo l um autovalor de uma transformação linear T:V® V, o conjunto = {vÎ V; T(v) = l .v} é um subespaço vetorial de V, formado pelo vetor nulo e por todos os autovalores associados a l . Esse conjunto é chamado de subespaço associado ao autovalor l .

2.1) Mostre que é um subespaço vetorial de V.

3) Referente ao exercício 2:

Chame de v_i um dos autovetores associados ao autovalor l _i.

4) Definimos "multiplicidade geométrica" de um autovalor como sendo a dimensão do subespaço de autovetores a ele associado. A "multiplicidade algébrica" é o número de vezes que um autovalor aparece como raiz da equação característica que o definiu.

4.1)	l 1 = l 2 = 3 e = (x, – 2x, x, 4x); l 3 = 2 e = (0, y, 3y, y); l 4 = – 1 e = (z, 3z, z, 3z);

A multiplicidade algébrica de l = 3 é ................. e a geométrica é ................. .

Um conjunto l.i., formado pelo maior número possível de autovetores de T é, por exemplo,

b₁ = {......................................................................................}.

Como dimR⁴ = ................., o conjunto b₁ ............... base de R⁴. Isso significa que o operador T ................. diagonalizável.

4.2)	l 1 = l 2 = 3 e = (x, – 2x, z, 4z); l 3 = 2 e = (0, y, 3y, y); l 4 = – 1 e = (z, 3z, z, 3z);

As multiplicidades algébrica e geométrica de l = 3 são ................. e ................., respectivamente, pois   tem ................. variáveis livres.

Para l ₃ e l ₄ as multiplicidades algébrica e geométrica também coincidem e valem ................. para ambos. Assim, existe uma base de R⁴ formada por ................................................ de T, por exemplo,

b = {.......................................................................................}.

E, nesse caso, o operador dado ................. diagonalizável.

 

5) Considere o exercício 4 para o que segue:

5.1) Encontre T(x, y, z, t) usando 4.2.

5.2) Encontre uma matriz inversível P que diagonalize a matriz [ T ].

5.3) Encontre [ T ]_b , usando 5.2.

 

6) Para verificar se um operador T:V® V é diagonalizável podemos utilizar uma das seguintes condições:

(a) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T coincidem.

(b) Sendo [ T ] = A, existe uma matriz P, inversível, tal que A = PDP^–1 ou D = P^–1AP, onde D é a matriz diagonal que representa T na base de autovetores.

(c) Existe uma base de V formada por autovetores de T.

Na verdade as três condições são equivalentes e a escolha de uma é feita conforme o enunciado de cada exercício.

Por exemplo, sabemos que T é um operador linear em R³, com 3 autovalores distintos e que T(1, 1, 1) = (2, 2, 2) e T(1, – 1, 0) = (– 3, 3, 0). Podemos afirmar que o operador é diagonalizável.

6.1) Explique a afirmação dada no parágrafo anterior.

6.2) Com as informações que temos, é possível encontrar a lei que define T? Explique

6.3) Encontre, por uma das condições acima, para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis:

(a)

(b)

         

7) Mostre que a matriz é semelhante à matriz .

 

8) Rescreva o enunciado do exercício 7 usando os termos:

"T",

"operador linear",

"matriz inversível P",

"matriz D que representa T na base de autovetores" e

"diagonalizável".

 

9) Let T:P₁® P₁ be a linear operator that applies the polynomial (1 + x) at (5 + 2x) and the polynomial (4 + x) at – 2(4 + x).

9.1) Find T(ax + b).

9.2) Find the eigenvalues of T and the respective eigenvectors.

9.3) Verify if T is diagonalizable.

 

Clique aqui para download deste material