CÁLCULO DIFERENCIAL

2.4 Gráficos tridimensionais

Nesta subseção apresentamos gráficos tridimensionais das funções definidas em diversas situações.

2.4.1 Gráficos de funções de duas variáveis definidas em coordenadas cartesianas

Para representar tridimensionalmente gráficos de superfícies formadas por meio de funções de duas variáveis definidas em coordenadas cartesianas, é necessário utilizar apenas o comando "Plot3D".

Exemplo 2.17

Construir os gráficos em três dimensões das seguintes funções de duas variáveis:

a) f(x,y) = x³ + y, - 5 £ x £ 5, - 7 £ y £ 7;
b) f(x,y) = sen x cos x, - 3 £ x £ 3, - 3 £ y £ 3.

Resolução

Construímos os gráficos das funções dadas utilizando o comando "Plot3D".

a) In[ ]:= Plot3D[x^3+y,{x,- 5,5},{y,- 7,7}]

Out[ ]= -SurfaceGraphics-

O Mathematica possui a opção "PlotPoints", que é utilizada para aumentar o número de pontos na representação do gráfico desejado, objetivando uma melhor nitidez. Esta opção é utilizada junto com o comando "Plot3D". Há uma tendência de sempre utilizá-lo para fazer gráficos mais bonitos e melhor definidos. Porém, há uma desvantagem, pois utilizar a opção "PlotPoints" faz com que o processo de construção do gráfico seja de extrema demora. Segue abaixo, um exemplo que mostra a diferença entre um gráfico com o número de pontos predefinidos e, um com o número de pontos definidos pela opção "PlotPoints". O comando "Plot3D" junto à opção "Lighting->False" permite obter um gráfico um pouco mais brilhante e de uma só cor. Veja no exemplo a seguir:

b) In[ ]:= Plot3D[Sin[x Cos[x]],{x,-3,3},{y,-3,3}]

Out[ ]= -SurfaceGraphics-

In[ ]:= Plot3D[Sin[x Cos[x]],{x,- 3,3},{y,- 3,3}, PlotPoints->40]

Out[ ]= -SurfaceGraphics-

In[ ]:= Plot3D[Sin[x Cos[x]],{x,- 3,3},{y,- 3,3},PlotPoints->40, Lighting->False]

Out[ ]= -SurfaceGraphics-

Observações

Para construir gráficos em três dimensões de funções escritas em coordenadas cartesianas, utilizamos o comando "Plot3D", onde indicamos as variações de x e y respectivamente.

A opção "PlotPoints" foi utilizada para obter maior densidade no gráfico. A opção "Lighting->False" foi utilizada para dar mais brilho ao gráfico.

2.4.2 Curvas de nível

Às vezes fica difícil de traçar algumas superfícies simples z = f(x,y). Mas há um modo razoavelmente fácil de se expressar graficamente estas funções. Ao mapear um relevo, por exemplo, unem-se pontos de mesma elevação, que resulta num mapa topográfico com um panorama claro a partir da representação bidimensional. Pode-se fazer a mesma coisa com uma função z = f(x,y) de duas variáveis. As curvas resultantes chamam-se curvas de nível. Elas estão no domínio da função e em seus pontos z = f(x,y) têm o valor constante. Várias curvas de nível constituem um mapa de contorno.

Para construir curvas de nível utilizamos o comando "ContourPlot". A seguir veja alguns exemplos:

Exemplo 2.18

Esboçar uma superfície no espaço tridimensional e desenhar uma família de curvas de nível das seguintes funções:

a) f(x,y) = x³ + y³, - 3 £ x £ 3, - 3 £ x £ 3;
b) f(x,y) = cos x² + sen y², - p £ x £ p , - p £ x £ p ;

Resolução

Resolvemos estes exemplos utilizando os comandos "Plot3D", "ContourPlot" e "Show[GraphicsArray]" para representar os dois tipos de gráficos na mesma tela.

a) In[ ]:= g1=Plot3D[x^2+y^2,{x,- 3,3},{y,- 3,3}, PlotLabel->"Gráfico da superfície"]
g2=ContourPlot[x^2+y^2,{x,- 3,3},{y,- 3,3}, PlotLabel->"Curvas de nível"]
Show[GraphicsArray[{g1,g2}]]

Out[ ]= -GraphicsArray-

b) In[ ]:= Clear[g1,g2]
               g1=Plot3D[Cos[x^2]+Sin[y^2],{x,- Pi,Pi}, {y,- Pi,Pi},
                         PlotLabel->"Gráfico da superfície", PlotPoints->30]
               g2=ContourPlot[Cos[x^2]+Sin[y^2],{x,- Pi,Pi}, {y,- Pi,Pi},
                         PlotLabel->"Curvas de nível", ContourShading->True]
             Show[GraphicsArray[{g1,g2}]]

Out[ ]= -GraphicsArray-

2.4.3 Gráficos de equações paramétricas

Para construir gráficos de funções em três dimensões dadas em coordenadas paramétricas utilizamos o comando "ParametricPlot3D". Este comando pode ser utilizado de duas maneiras: uma para fazer gráficos de curvas em três dimensões e outro para fazer gráficos de superfícies tridimensionais.

Exemplo 2.19

Construir o gráfico, em três dimensões, das seguintes funções dadas em equações paramétricas:

x(t) = 3 cos t, y(t) = 2 sen t, z(t) = t/2, 0 £ t £ 4p .

Resolução

Para se fazer um gráfico de uma curva no espaço devemos utilizar o comando "ParametricPlot3D" da seguinte forma:

In[ ]:= ParametricPlot3D[{3 Cos[t],2 Sin[t],t/2}, {t,0,4 Pi}]

Out[ ]= -Graphics3D-

Exemplo 2.20

Construir os gráficos em três dimensões, das seguintes funções dadas em equações paramétricas:

x(t) = t, y(t) = t⁵, z(t) = t², - 1 £ t £ 1

x(t) = t², y(t) = t, z(t) = t⁵, - 1 £ t £ 1.

no mesmo sistema de coordenadas.

Resolução

Para se fazer gráficos de mais de uma curva no espaço devemos utilizar o comando "ParametricPlot3D" da seguinte forma:

In[ ]:= ParametricPlot3D[{{t,t^5,t^2},{t^2,t,t^5}}, {t,- 1,1}]

Out[ ]= -Graphics3D-

A seguir apresentamos exemplos de gráficos de superfícies em três dimensões.

Exemplo 2.21

Construir os gráficos em três dimensões das seguintes funções dadas nas equações paramétricas em duas variáveis:

a) x(r,t) = r, y(r,t) = t e z(r,t) = t r, - 1 £ r £ 1, - 1 £ t £ 1;

b) x(r,t) = r cos t, y(r,t) = r sen t e z(r,t) = sen(2r), - p £ r £ p , 0 £ t £ 2p .

Resolução

Para resolver estes exemplos também utilizamos o comando "ParametricPlot3D", da seguinte forma:

a) In[ ]:= ParametricPlot3D[{r,t,t r},{r,-1,1},{t,-1,1}]

Out[ ]= -Graphics3D-

b) Neste exemplo utilizamos mais opções. A opção "PlotPoints" é utilizada para melhorar a nitidez do gráfico e a opção "ViewPoint" é utilizada para mudar a direção dos eixos.

In[ ]:= f[x_]:=Sin[2 x]
         x[r_,t_]:=r Cos[t]
         y[r_,t_]:=r Sin[t]
         z[r_,t_]:=f[r]
        ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]}, {r,-Pi,Pi},{t,0,2 Pi}]

Out[ ]= -Graphics3D-

In[ ]:= f[x_]:=Sin[2 x]
          x[r_,t_]:=r Cos[t]
          y[r_,t_]:=r Sin[t]
          z[r_,t_]:=f[r]
        ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,- Pi,Pi},{t,0,2 Pi}, ViewPoint->{- 0.010,- 0.390,1.330}]

Out[ ]= -Graphics3D-

In[ ]:= f[x_]:=Sin[2 x]
           x[r_,t_]:=r Cos[t]
           y[r_,t_]:=r Sin[t]
           z[r_,t_]:=f[r]
        ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]}, {r,- Pi,Pi},{t,0,2 Pi},
        ViewPoint->{- 0.010,-0.390,1.330}, PlotPoints->40]

Out[ ]= -Graphics3D-

Para fazer gráficos de mais de uma equação paramétrica sobre o mesmo conjunto de eixos, basta indicar como primeiro parâmetro uma lista com as funções.

Exemplo 2.22

Construir os gráficos das seguintes equações paramétricas:

x(r,t) = t, y(r,t) = r², z(r,t) = r t, - 2 £ r £ 2, - 2 £ t £ 2,

x(r,t) = t², y(r,t) = r, z(r,t) = t r², - 2 £ r £ 2, - 2 £ t £ 2,

no mesmo sistema de coordenadas.

Resolução

Damos o seguinte comando para construir os gráficos das funções dadas:

In[ ]:= ParametricPlot3D[{{t,r^2,r t},{t^2,r,t r^2}}, {r,-2,2},{t,-2,2}]

Out[ ]= -Graphics3D-

No exemplo a seguir utilizamos o comando "Show" para construir dois ou mais gráficos na mesma tela com opções diferentes.

Exemplo 2.23

Sejam

x(r,t) = r, y(r,t) = f(r) cos t e z(r,t) = f(r) sen t, - 1 £ r £ 1, 0 £ t £ 2p .

Construir os gráficos da função dada acima na mesma tela com duas opções: uma de forma normal e outra com mais nitidez.

Resolução

Neste exemplo utilizamos o comando "Show" com mais opções ne-cessárias. Veja a seguir:

In[ ]:= f[x_]:= Exp[-x^2 Cos[4 x]]
         f1=ParametricPlot3D[{r,f[r] Cos[t],f[r] Sin[t]},{r,-1,1},{t,0,2 Pi}]
         f2=ParametricPlot3D[{r,f[r] Cos[t],f[r] Sin[t]}, {r,-1,1},{t,0,2 Pi}, PlotPoints->30]
       Show[GraphicsArray[{f1,f2}]]

Out[ ]= -GraphicsArray-

Observações

"ParametricPlot3D" é usado para traçar curvas paramétricas em três dimensões.

"ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax}]" gera curvas tridimensionais definidas por x=x[t],y=y[t],z=z[t] para t=tmin a t=tmax.

Se as coordenadas dependem de dois parâmetros, então "ParametricPlot3D [{x[t,r],y[t,r],z[t,r]},{t,tmin,tmax}, {r, rmin,rmax}]" traça a superfície.

O comando "ParametricPlot3D[{{x1[t,r],y1[t,r],z1[t,r]},{x2[t,r],y2[t,r],z2[t,r] },...,{t,tmin,tmax}, {r,rmin, rmax}]" gera gráficos das funções simultaneamente.

2.4.4 Gráficos de equações em coordenadas cilíndricas

Para fazer um gráfico em coordenadas cilíndricas é necessário carregar o pacote "ParametricPlot3D" incluído no Mathematica, que contém a definição do comando "CylindericalPlot3D". É importante primeiro carregar o pacote, dando o seguinte comando:

In[ ]:= Needs["Graphics`ParametricPlot3D`"]

A seguir mostramos alguns exemplos de gráficos tridimensionais nestas coordenadas.

Exemplo 2.24

Construir os gráficos das seguintes funções em coordenadas cilíndricas:

a) f(r,t) = r² cos t sen t, 0 £ r £ 1,5, 0 £ t £ 2p ;
b) f(r,t) = r⁵ cos 5t, 0 £ r £ 1, 0 £ t £ 2p .

Resolução

Construímos os gráficos das funções dadas utilizando o comando "CylindricalPlot3D".

a) In[ ]:= CylindricalPlot3D[r^2 Cos[t]Sin[t],{r,0,1.5}, {t,0,2 Pi}]

Out[ ]= -Graphics3D-

b) In[ ]:= CylindricalPlot3D[r^5 Cos[5 t],{r,0,1}, {t,0,2 Pi}, ViewPoint->{3.559,- 1.345,2.556}]

Out[ ]= -Graphics3D-

Observação

Observe que no exemplo acima, no comando "CylindricalPlot3D" foi utilizada a opção "ViewPoint", que modifica o ponto de visão do observador em relação ao gráfico.

2.4.5 Gráficos de equações em coordenadas esféricas

Para fazer um gráfico em coordenadas esféricas é necessário carregar o pacote "ParametricPlot3D" incluído no Mathematica, que contém a definição do comando "SphericalPlot3D". É importante primeiro carregar o pacote, dando o seguinte comando:

In[ ]:= Needs["Graphics`ParametricPlot3D`"]

A seguir apresentamos alguns exemplos de gráficos tridimensionais, nestas coordenadas.

Exemplo 2.25

Construir em coordenadas esféricas os gráficos das seguintes funções:

a) f(r,t) = 2 + sen 3t cos 3p, p /2 £ t £ p , 0 £ p £ 3p /2;
b) f(r,t) = r² + sen 3t, - p £ t £ p , 0 £ p £ 2p .

Resolução

Construímos os gráficos das funções dadas utilizando o comando "SphericalPlot3D"

a) In[ ]:= SphericalPlot3D[2+Sin[3 t] Cos[3 p],{t,Pi/2,Pi},{p,0,3 Pi/2}]

Out[ ]= -Graphics3D-

b) In[ ]:= SphericalPlot3D[t^2+Sin[3t], {t,- Pi,Pi},{p,0,2 Pi}]

Out[ ]= -Graphics3D-