Multiplicação entre Matrizes

Há duas maneiras de multiplicar duas ou mais matrizes usando os comandos do Maple, onde é necessário que as matrizes definidas obedeceram a regra básica da multiplicação entre duas matrizes. Por exemple, consideramos duas matrizes $A$ e $B$ dadas por

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 4 \hfill & { - 3} \hfil... ...fill & { - 3} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]_{,}$$

e

$$B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill \\ ... ...hfill \\ { - 6} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Então, sabemos que, podemos efetuar o produto AB, pois valem as condições básicas de multiplicação das matrizes.

$>$ restart: with(linalg):

$>$ A:=array([[4,-3,2],[3,-3,0],[5,-3,1]]); B:=array([[2,3], [1,-4],[-6,1]]);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 4 \hfill & { - 3} \hfil... ...5 \hfill & { - 3} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill \\ ... ...hfill \\ { - 6} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `AB`:=evalm(A&*B): A*B=matrix(`AB`);

$$A B = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 7} \hfill & {26} \... ... \hfill \\ 1 \hfill & {28} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Se queremos especificar, mais precisamente o produto, podemos dar o seguinte comando:

$>$ matrix(A)*matrix(B)=matrix(`AB`);

$$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 4 \hfill & { - 3} \hfill & 2... ... \hfill \\ 1 \hfill & {28} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Quando precisamos calcular o quadrado ou a potência maior de uma matriz dada, devemos dar os seguintes comandos:

$>$ `A2`:=evalm(A2): A2=matrix(`A2`);

$$A^2: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {17} \hfill & { - 9} ... ...hfill & { - 9} \hfill & {11} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `A3`:=evalm(A3):A3=matrix(`A3`);

$$A^3: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {91} \hfill & { - 54}... ...fill & { - 54} \hfill & {43} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

O primeiro comando se refere a $A^2$ e o segundo comando se refere a $A^3$, onde $A$ é a mesma matriz dada acima.

$\bullet$ Colocações Importantes

(i) Sabemos que a multiplicação entre matrizes não é comutativa, ou seja, se temos duas matrizes A e B, então não é necessário que exista AB e BA, e caso exista não é necessário que os dois produtos sejam iguais, isto é, em geral AB $\ne$ BA.

Sejam A e B duas matrizes dadas por

$A = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & { - 1} \hfill \\ 4 ... ... & { - 1} \hfill \\ 2 \hfill & 1 \hfill & 5 \hfill \\ \end{array} }} \right]$e $B = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 1} \hfill & 3 \hfill & 4 \hfill \\ { ... ...hfill & 1 \hfill \\ 4 \hfill & 2 \hfill & 3 \hfill \\ \end{array} }} \right]$.

$>$ A:=array([[2,3,-1],[4,3,-1],[2,1,5]]);B:=array([[-1,3,4], [-6,2,1],[4,2,3]]);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & {... ...\\ 2 \hfill & 1 \hfill & 5 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 1} \hfill & 3 \hfil... ...\\ 4 \hfill & 2 \hfill & 3 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `AB`:=evalm(A&*B);`BA`:=evalm(B&*A);

$$AB: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 24} \hfill & {10} ... ... \hfill & {18} \hfill & {24} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$BA: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {18} \hfill & {10} \hf... ...22} \hfill & {21} \hfill & 9 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Assim, concluímos que

AB $\ne$ BA.

(ii) Se AB = 0, não é necessário que ou A = 0 ou B = 0, ou seja, podemos ter AB = 0, onde A $\ne$ 0 e B $\ne$ 0.

Sejam A e B duas matrizes dadas por

$A = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & { - 1} \hfill & 1 \hfill \\ { ... ...- 1} \hfill \\ { - 2} \hfill & 1 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$e $B = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 2 \hfill & 3 \hfill \\ 2 \hfil... ...hfill & 6 \hfill \\ 1 \hfill & 2 \hfill & 3 \hfill \\ \end{array} }} \right]$

$>$ A:=array([[1,-1,1],[-3,2,-1],[-2,1,0]]); B:=array([[1,2,3],[2,4,6],[1,2,3]]);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & { - 1} \hfil... ...{ - 2} \hfill & 1 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$B = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 2 \hfill & 3 ... ...\\ 1 \hfill & 2 \hfill & 3 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `AB`:=evalm(A&*B);

$$AB: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0 \hfill & 0 \hfill & ... ...\\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Assim concluímos que nesse caso, AB = 0 mesmo que $A \ne$ 0 e $B \ne$ 0.

(iii) A lei de cancelamento também não é válida no caso de multiplicação das matrizes, ou seja, se AB = AC, não é necessário que B = C.

Sejam $A$, $B$ e $C$ três matrizes dadas por

$A = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 4 \hfill & 2 \hfill & 0 \hfill \\ 2 \hfil... ...- 2} \hfill \\ { - 1} \hfill & 2 \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$e $C = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 3 \hfill & 1 \hfill & { - 3} \hfill \\ 0 ... ... & 6 \hfill \\ { - 1} \hfill & 2 \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$.

Damos os seguintes comandos:

$>$ A:=array([[4,2,0],[2,1,0],[-2,-1,1]]); B:=array([[2,3,1],[2,-2,-2],[-1,2,1]]);

C:=array([[3,1,-3],[0,2,6],[-1,2,1]]);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 4 \hfill & 2 \hfill & 0... ...} \hfill & { - 1} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 1... ...{ - 1} \hfill & 2 \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$C: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 3 \hfill & 1 \hfill & {... ...{ - 1} \hfill & 2 \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ `AB`:=evalm(A&*B);`AC`:=evalm(A&*C);

$$AB: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {12} \hfill & 8 \hfill... ...} \hfill & { - 2} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$$AC: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {12} \hfill & 8 \hfill... ...} \hfill & { - 2} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Assim, concluímos que nesse caso, AB = AC, mas $B \ne C$.