Taxas Relacionadas e Máximos
 
Lista V- Taxas Relacionadas Problemas:




Exercício 1   Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de compriment,o 9 ft de profundidade no lado mais fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a piscina está sendo enchida a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft?






 
Figure 1: Piscina
\includegraphics[width=0.80\textwidth]{pisci.eps}

Exercício 2   Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.

Exercício 3   Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m?

Exercício 4   Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y=1-x2 tal que o triângulo ABC formado pelo eixo-x e as tangentes em P e Q seja equilátero.

Exercício 5   Um homem começa a andar para o norte a 4 ft/s de um ponto P. 5 minutos mais tarde uma mulher inicia sua caminhadada para o sul a uma velocidade de 5 ft/s partindo de um ponto localizado 500 ft a leste de P. Qual a taxa de afastamento entre o homem e a mulher 15 minutos após a mulher ter iniciado a caminhada?

Exercício 6   Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera de raio R. Encontre o maior volume possível de um tal cilindro. (Mesmo problema quando é um cone de altura h e raio r que circunscreve o cilindro.

Exercício 7   Um barco deixa as docas às 14:00 h e navega para o sul a uma velocidade de 20km/h. Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de 15km/h e atinge a mesma doca as 15:00 h. A que horas estiveram os dois barcos mais próximos.

Exercício 8   Em uma colmeia, cada célula é um prisma regular hexagonal, aberto em uma extremidade com uma ângulo triedral na outra extremidade. Acredita-se que as abelhas constroem seus favos de modo a minimizar a área da superfície para um dado volume fixo, usando desde modo a menor quantidade possível de cera. O exame dos favos tem mostrado que a medida do ângulo do ápice $\theta$ é impressionantemente consistente. Usando geometria pode-se provar que a área da superfície é dada por

\begin{displaymath}S=6sh-\frac{3}{2}s^2{\text {\ cotg }}\theta+(3s^2\sqrt{3}/2){\text {\ cossec }}\theta\end{displaymath}

onde s, é o comprimento dos lados do hexágono e h a altura.


a) Calcule $\frac{dS}{d\theta}$.

b) Determine o ângulo que as abelhas preferem.

c) Determine a área superfície mínima escolhida.

Exercício 9   Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola y=x2. O carro começa em um ponto a 100 m oeste e 100 norte da origem na direção leste. Há uma estátua localizada a 100 m leste e 50 m norte da origem. Determine o ponto sobre a estrada no qual os faróis do carro estarão iluminando a estátua.




 

Figure 2: Carro na estrada
\includegraphics[width=0.70\textwidth]{car.eps}

Exercício 10   Um pedaço de fio de 16 cm de comprimento será cortado em duas partes. Uma delas será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um círculo. Como deverá ser feito o corte de modo a minimizar a área total das figuras?

Exercício 11   Um observatório será construido na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fixo?



 


Para os alunos que estão tendo problemas com os scripts em Java as soluções podem ser acessadas em um arquivo somente pelo link Soluções, que segue.