Exemplo 2: Medidas de Lebesgue-Stieltjes

Seja $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ uma função não-decrescente e contínua pela direita. Seja

$$\mathscr{A}=\{(a,b] \mid a<b\}$$

Definição 2.3.3   Definimos para cada elemento de $\mathscr{A}$

$$\mu_f((a,b])=f(b)-f(a)$$

que é um número $\ge 0$ pois f é não-decrescente. Definimos então para cada $A\subset \mathbb{R}$

$$\mu^*_f (A)=\inf \left\{ \mathop{\pmb{\sum}}\limits_k \mu_f (a_k,b_k]\; \biggm\vert \; \bigcup_n (a_k,b_k]\supset A \right\}$$

se $A\ne \emptyset$ e $\mu^*(\emptyset)=0$.

Lema 2.3.2   A função $\mu^*_f:\boldsymbol{ \mathscr{P} }(\mathbb{R} )\mapsto [0,+\infty]$ é uma medida exterior métrica em $\mathbb{R}$.

Na prova deste lema usaremos o seguinte resultado que é equivalente ao lema 1.2.1 cuja prova se aplica a este caso também.

Lema 2.3.3   Para todo $A\subset \mathbb{R}$ e $\delta>0$ vale:

$$\mu^*_f(A)=\inf\limits_\delta \sum_i \mu_f(a_i,b_i]$$

onde $\inf\limits_\delta$ indica o ínfimo das somas à direita tomadas sobre todos os recubrimentos de A por intervalos (a,b] tais que $b-a<\delta$.

A restrição de $\mu^*_f$ aos conjuntos $\mu^*_f$-mensuráveis denomina-se medida de Lebesgue-Stieltjes associada à f.