Exemplo 1: Medidas de Hausdorff

Um exemplo muito importante de medida exterior num espaço métrico é a medida de Hausdorff. Seja X um espaço métrico. Fixemos um número real positivo s. Seja $\delta>0$. Dado $A\subset X$ denotamos por $\boldsymbol{ \mathscr{C} }_\delta(A)$ a família das coberturas enumeráveis de Apor bolas de X B, tais que diam $(B)<\delta$.

Definição 2.3.1   Definimos

$$H_\delta^s(A)=\inf\{ \mathop{\pmb{\sum}}_{A_i\in \mathscr{S}}... ...))^s \mid \mathscr{S}\in \boldsymbol{ \mathscr{C} }_\delta(A)\}$$

Estamos usando como convenção que $\inf\; \emptyset=\infty$. Um cálculo simples mostra que quando $\delta$ diminui $H_\delta^s(A)$ cresce. Logo :

Definição 2.3.2   Definimos a s-medida exterior de Hausdorff como

$$h_s(A)=\lim\limits_{\delta\to 0} H_\delta^s(A)=\sup\limits_{\delta >0} H_\delta^s(A)$$ (2.1)

É fácil ver que h_s é uma medida exterior métrica isto é que satisfaz:

$$d(A,B)>0 \Rightarrow h_s(A\cup B)=h_s(A)+h_s(B)$$

e portanto pelo teorema 2.2.1 induz uma medida sobre $\boldsymbol{ \mathscr{B} }(X)$. Como as s-meddidas de Hausdorff são importantes exemplos daremos as provas de suas propriedades elementares a seguir. O lema que segue resume estas propriedades:

Lema 2.3.1   Valem as seguintes propriedades:

1.

Se $X=\mathbb{R} ^n$ então existe C>0 tal que

$$C^{-1} {\mathfrak{m} }^{*}(A)\le h_n(A)\le C{\mathfrak{m} }^{*}(A)$$

para todo $A\subset X$.

2.

Se $\mu$ é uma probabilidade sobre X tal que existem $\delta>0$ e C>0 satisfazendo

$$\mu(B)\le C(diam(B))^\delta$$

para toda bola $B\subset X$, então $\mu(A)\le Ch_\delta(A)$ para todo boreleano $A\subset X$.

3.

Se X é um boreleano de ${\mathbb R}^n$ e existe uma probabilidade $\mu$em X tal que existem $\delta>0$ e R>0 satisfazendo

$$\mu(B)\ge C^{-1} (diam(B))^\delta$$

para toda bola B de X com $\text{diam}(B)\le R$, então existe K>0 tal que

$$\mu(A)\ge K h_\delta(A).$$

4.

Se X é metrico então,

$$(d\,1).\:h_t(X)< +\infty \Rightarrow h_s(X)=0\quad \forall \;s>t$$

$$(d\,2).\:h_t(X)=+\infty \Rightarrow h_s(X)=+\infty \quad \forall \; s<t.$$

O número d tal que h_t(X)=0 para todo t>d e $h_t(X)=+\infty$ para todo t<d denomina-se dimensão de Hausdorff de X e denota-se $\mbox{dim}_H(X)$.

5.

Sejam X,Y são espaços métricos. Seja $f:X\mapsto Y$ um homeomorfismo Lipschitziano isto é, existe c>0 tal que

$$c^{-1} d(x,y)\le d(f(x),f(y))\le cd(x,y)$$

para todos $x,y\in X$ então,

$$\text{dim}_H(X)=\text{dim}_H(Y)$$