Funções Mensuráveis

Nesta seção, X denotará um subconjunto Lebesgue mensurável de .

Definição 4.1.1   dizemos que $f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$ é uma função mensurável se f^-1(S) úm conjunto Lebesgue mensurável para todo Boreleano $S\subset \ensuremath {\mathbb{R} }$.

Teorema 4.1.1   $f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$ é mensurável $\Longleftrightarrow$ $f^{-1}((a,+\ensuremath{\infty } ))$ é Lebesgue mensurável para todo $a\in \ensuremath {\mathbb{R} }$

Corolário 4.1.1   As funções contínuas são mensuráveis.

Neste ponto nos parece natural explicar porque na definição de função mensurável usamos na imagem a $\sigma$-álgebra dos boreleanos e não a $\sigma$-álgebra dos mensuráveis como seria de se esperar. A razão é simples. Adotar $\sigma$-álgebras maiores na imagem faz aparecer patologias indesejáveis como por exemplo, funções contínuas não serem necessariamente mensurveis. O próximo lema exemplifica esta situação:

Lema 4.1.1   Existem um homeomorfismo $f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]$ e um conjunto Lebesgue mensuravel L tal que f^-1(L) não é Lebesgue mensurável.

Exemplo 4.1   O lema 4.1.1 nos permite exibir um conjunto mensurável não boreleano a saber Q. De fato, se Q fose boreleano como g é contínua g^-1(Q) seria boreleano. Mas g^-1(Q) não é nem mensurável, não podendo portanto ser boreleano.

Definição 4.1.2   Dizemos que uma sequência $f_n\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$, $n\ge 1$ converge q.t.p. (em quase todo ponto) a $f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$se existe $X_0\subset X$ com $\mathfrak{m} (X_0)=0$ tal que

$$\lim\limits_n \,f_n(x)=f(x)$$

para todo $x\notin X_0$. Escrevemos então $f_n\rightarrow f\:\:q.t.p.$

Teorema 4.1.2   Se $f_n\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} } ,\:\:n\ge 1$ é uma sequência de funções mensurveis que converge q.t.p. a $f\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$, então f é mensurável.

Teorema 4.1.3   Seja $f_n\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$ uma sequência de funções mensurveis tais que

$$\sup\limits_n \, f_n(x)<+\ensuremath{\infty }$$

para todo x. Então $\sup_n\,f_n\colon X\rightarrow\ensuremath {\mathbb{R} }$ é mensurvel.

Corolário 4.1.2   Seja $f_n\colon X\rightarrow \ensuremath {\mathbb{R} }$ uma sequência de funções mensuráveis tais que

1.

$\inf\limits_n\,f_n(x)>-\ensuremath{\infty }$ para todo x, então $\inf\limits_n\,f_n$ é mensurável.

2.

$\sup\limits_n\,f_n(x)<+\ensuremath{\infty }$ para todo x, então $\limsup\limits_n\,f_n$ é mensurável

3.

$\inf\limits_n\,f_n(x)>-\ensuremath{\infty }$ para todo x, então $\liminf\limits_n \,f_n$ é mensurável.