Sistema Não Homogêneo

Sabemos que o sistema não homogêneo de equações lineares é dado pela equação matricial AX = B. Quando a matriz $B$ é nula dizemos que o sistema é homogênea, caso contrário ele é não homogênea.

$\bullet$ Sistema Consistente e Determinado

Exemplo 1. Resolver o sistema de equações

$$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {2x - 3y - z} & { = 2} \\ ... ...= - 1} \\ {x + 3y + z} & { = - 5} \\ \end{array} }} \right.$$

Resolução. Para resolver o sistema utilizando Maple veja a seguir os comandos:

$>$ with(linalg):

$>$ sys_1:=2*x-3*y-z=2,-4*x+3*y-2*z=-1,x+3*y+z=-5;

$$sys\_1: = \{2x - 3y - z = 2, - 4x + 3y - 2z = - 1, x + 3y + z = - 5\}$$

$>$ solve(sys_1,x,y,z);

$$\{y = \frac{ - 13}{9},x = - 1,z = \frac{1}{3}\}$$

Para escrever o resultado em forma de decimal devemos dar o seguinte comando:

$>$ evalf(%);

$$\{y = - 1.444444444,x = - 1.,z = 0.3333333333\}$$

Para resolver o sistema utilização o processo de escalonamento para o sistema AX=B, podemos gerar a matriz separadamente, dando o seguinte comando:

$>$ A:=genmatrix(sys_1,{x,y,z},B);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & { - 3} \hfil... ...\\ 1 \hfill & 3 \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ evalm(B);

$$\left[ {2, - 1, 5} \right]$$

$>$ linsolve(A,B);

$$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 1,} \hfill & {\frac{ - 13}{9},} \hfill & {\frac{1}{3}} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Este procedimento é bom no caso em que iniciamos o sistema diretamento com a equação matricial.

$\bullet$ Sistema Consistente e Indeterminado

Agora daremos um exemplo quando a solução do sistema é indeterminado ou seja, o sistema é dependente.

Exemplo 2. Resolver o sistema de equações

$$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} { - 2x + y - 3z} & { = 4} \... ...{ = - 8} \\ {3x + y - z} & { = 3} \\ \end{array} }} \right.$$

Resolução. Para resolver o sistema utilizando Maple veja a seguir os comandos:

$>$ sys_2:={-2*x+y-3*z=4,4*x-2*y+6*z=-8,3*x+y-z=3};

$$sys\_2: = \{ - 2x + y - 3z = 4,{\rm 3}x + y - z = 3,{\rm 4}x - 2y + 6z = - 8\}$$

$>$ solve(sys_2,{x,y,z});

$$\{x = x,z = - \frac{5x}{2} - \frac{1}{2},y = - \frac{11x}{2} + \frac{5}{2}\}$$

$>$ A:=genmatrix(sys_2,{x,y,z},B);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} { - 2} \hfill & 1 \hfil... ...4 \hfill & { - 2} \hfill & 6 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ evalm(B);

$$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {4,} \hfill & {3,} \hfill & { - 8} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ linsolve(A,B);

$$\left[ {\_t_1 , - \frac{11}{2}\_t_1 + \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}\_t_1 - \frac{1}{2}} \right]$$

$>$ det(A);

$_{0}$

Observação

• Nas duas formas de cálculo de sistema linear, a solução contém parâmetro. A diferença é que o comando textbfsolve" resolve o sistema em termos dos variáveis atuais utilizadas, enquanto o comando textbflinsolve" coloca o resultado em termos de uma nova variável.

$\bullet$ Sistema Inconsistente

A seguir daremos um exemplo quando o sistema é inconsistente, ou seja, não existe a solução do sistema.

Exemplo 3. Resolver o sistema de equações

$$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} { - x + y - z} & { = 4} \\ ... ...{ = 3} \\ { - x + y - z} & { = 2} \\ \end{array} }} \right.$$

Resolução. Para resolver o sistema utilizando Maple veja a seguir os comandos:

$>$ sys_3:={-x+y-z=4,2*x+3*y+z=3,-x+y-z=2};

$$sys\_3: = \{2x + 3y + z = 3, - x + y - z = 2, - x + y - z = 4\}$$

$>$ solve(sys_3,{x,y,z});

(Nenhuma resposta)

$>$ A:=genmatrix(sys_3,{x,y,z},B);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 1... ...} \hfill & 1 \hfill & { - 1} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ det(A);

0

$>$ linsolve(A,B);

(Nenhuma resposta)

Observações

• No caso em que não existe a solução do sistema, o Maple não responde nada.

• Nos exemplos 2 e 3, o determinante da matriz $A$ é zero, mas no caso de exemplo 2 o sistema tem soluções infinitas e no caso de exemplo 3, o sistema é inconsistente.