Sistema Homogêneo

Sabemos que o sistema homogêneo de equações lineares é dado pela equação matricial AX = 0. A seguir apresentaremos alguns exemplos de resolução de sistema homogêneo.

Exemplo 5. Resolver o sistema homogêneo de 3 equações com 2 variáveis

$$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {2x + 3y} & { = 0} \\ { -... ...} & { = 0} \\ {4x + 10y} & { = 0} \\ \end{array} }} \right.$$

Resolução. Veja os comandos a seguir:

$>$ with(linalg):

$>$ sys_5:={2*x+3*y=0,-x+4*y=0, 4*x+10*y=0};

$$sys\_5: = \{2x + 3y = 0, - x + 4y = 0, 4x + 10y = 0\}$$

$>$ solve(sys_5,{x,y});

$$\{y = 0,x = 0\}$$

$>$ A:=genmatrix(sys_5,{x,y},B);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill \\ ... ... \hfill \\ 4 \hfill & {10} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ linsolve(A,B);

$$[0, 0]$$

$>$ A_B:=augment(A,B);

$$A\_B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill ... ... 4 \hfill & {10} \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A_B_1:=addrow(A_B,1,2,1/2);

$$A\_B\_1: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfi... ... 4 \hfill & {10} \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A_B_2:=addrow(A_B_1,1,3,-2);

$$A\_B\_2: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfi... ...\\ 0 \hfill & 4 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A_B_3:=mulrow(A_B_2,1,1/2);

$$A\_B\_3: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & {\frac... ...\\ 0 \hfill & 4 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A_B_4:=addrow(A_B_3,2,3,-8/11);

$$A\_B\_4: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & {\frac... ...\\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A_B_5:=mulrow(A_B_4,2,2/11);

$$A\_B\_5: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & {\frac... ...\\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A_B_6:=addrow(A_B_5,2,1,-3/2);

$$A\_B\_6: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 0 \hfi... ...\\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ X:=submatrix(A_B_6,1..2,3..3);

$$X: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Logo, $x = 0$ e $y = 0$ é a solução trivial do sistema e é a única solução.

Exemplo 6. Resolver o sistema homogêneo de 2 equações com 3 variáveis.

$$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x + 2y - 3z} & { = 0} \\ { - 2x - 4y + 6z} & { = 0} \\ \end{array} }} \right.$$

Resolução. Veja os comandos abaixo:

$>$ restrat: with(linalg):sys_6:={x+2*y-3*z=0,-2*x-4*y+6*z=0};

$$sys\_6: = \{x + 2y - 3z = 0, - 2x - 4y + 6z = 0\}$$

$>$ solve(sys_6,{x,y,z});

$$\{x = - 2y + 2z,y = y,z = z\}$$

$>$ A:=genmatrix(sys_6,{x,y,z},B);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 2 \hfill & {... ...} \hfill & { - 4} \hfill & 6 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A_B:=augment(A,B);

$$A\_B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 2 \hfill ... ...{ - 4} \hfill & 6 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ linsolve(A,B);

$$[ - 2\_t_1 + 3\_t_2 ,\_t_1 ,\_t_2 ]$$

Substituindo, $t_1 = y$ e $t_2 = z$, temos $x = - 2y + 2z$. Logo, o sistema tem soluções infinitas.

$>$ A_B_1:=addrow(A_B,1,2,2);

$$A\_B\_1: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 2 \hfi... ...ll & 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

ou seja, $x + 2y - 3z = 0$.

Exemplo 7. Resolver o sistema homogêneo de 3 equações com 3 variáveis

$$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x - 2y + 4z} & { = 0} \\ ... ... { = 0} \\ {3x - y + 2z} & { = 0} \\ \end{array} }} \right.$$

Resolução. Veja os comandos abaixo:

$>$ with(linalg):

$>$ sys_7:={x-2*y+4*z=0,2*x+5*y-3*z=0, 3*x-y+2*z=0};

$$sys\_7: = \{x - 2y + 4z = 0, 2x + 5y - 3z = 0, 3x - y + 2z = 0\}$$

$>$ solve(sys_7,{x,y,z});

$$\{y = 0,x = 0,z = 0\}$$

$>$ A:=genmatrix(sys_7,{x,y,z},B);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & { - 2} \hfil... ...3 \hfill & { - 1} \hfill & 2 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ det(A);

$$- 35$$

$>$ linsolve(A,B);

$$[0, 0, 0]$$

$>$ A_B:=augment(A,B);

$$A\_B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & { - 2} \h... ...{ - 1} \hfill & 2 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A_B_1:=gaussjord(A_B);

$$A\_B\_1: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 0 \hfi... ...ll & 0 \hfill & 1 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Logo, concluímos que $x = 0$, $y = 0$ e $z = 0$ é a única solução do sistema.