Escalonamento e Matriz Canônica

A seguir explicaremos como escalonar e obter a matriz canônica de uma matriz dada. Faremos este processo de dois formas. A primeira forma é passo a passo e a segunda, cálculo direto.

Seja $A$ uma matriz dada por

$$A = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 4 ... ...4 \hfill & { - 3} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

1$^{a}$ Maneira de Escalonar: Passo a passo:

Veja os comandos abaixo:

$>$ A:=array([[2,3,4,5],[-1,3,4,3],[2,4,-3,1]]);

$$A: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 4... ...4 \hfill & { - 3} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A1:=addrow(A,1,2,1/2);

$$A1: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & ... ...4 \hfill & { - 3} \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A2:=addrow(A1,1,3,-1);

$$A2: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & ... ...ill & { - 7} \hfill & { - 4} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ A3:=addrow(A2,2,3,-2/9);

$$A3: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & ... ...} \hfill & {\frac{ - 47}{9}} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

A matriz obtida é a forma escalonada da matriz $I$ dada. Podemos obter a forma simplificada da matriz eliminado as frações dando o seguinte comando:

$>$ A4:=ffgausselim(A3);

$$A4: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & ... ...l & { - 75} \hfill & { - 47} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Logo, A4 ou A3 são as formas escalonadas da matriz dada.

2$^{a}$ Maneira de Escalonar: Diretamente.

Podemos escalonar uma matriz dada diretamente utilizando o seguinte comando:

$>$ B:=ffgausselim(A);

$$B: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & 4... ...l & { - 75} \hfill & { - 47} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Logo, a matriz $B$ é a forma escalonada da matriz $A$ dada acima. Este matriz é o mesma $A4$, obtido anteriormente passo a passo. Podemos também escalonar a matriz $A$ dada acima usando o seguinte comando:

1$^{a}$ Maneira - Matriz Canônica: Passo a passo.

Para escrever na forma canônica uma matriz, vamos considerar a matriz $B$ dada acima na forma escalonada. Veja os comandos abaixo:

$>$ B1:=mulrow(B,2,1/9);

$$B1: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 2 \hfill & 3 \hfill & ... ...l & { - 75} \hfill & { - 47} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ B2:=mulrow(B1,1,1/2);

$$B2: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & {\frac{3}{2... ...l & { - 75} \hfill & { - 47} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ B3:=mulrow(B2,3,-1/75);

$$B3: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & {\frac{3}{2... ...& 1 \hfill & {\frac{47}{75}} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ B4:=addrow(B3,2,1,-3/2);

$$B4: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 0 \hfill & ... ...& 1 \hfill & {\frac{47}{75}} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

$>$ B5:=addrow(B4,3,2,-4/3);

$$B5: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 0 \hfill & ... ...& 1 \hfill & {\frac{47}{75}} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$

Logo, $B5$ é a forma canônica da matriz $A$.

2$^{a}$ Maneira - Matriz Canônica: Diretamente.

Podemos também obter matriz canônica diretamente, utilizando o seguinte comando

$>$ B5:=gaussjord(A);

$$B5: = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 0 \hfill & ... ...& 1 \hfill & {\frac{47}{75}} \hfill \\ \end{array} }} \right]$$