Atividades de Aprendizagem

 

1.1 ESPAÇOS VETORIAIS

 

  1. Considerando a definição de espaço vetorial, queremos ressaltar a importância do que destacamos como propriedades F1 e F2, logo após o quadro das propriedades. Veja que a propriedade do fechamento para uma operação significa poder efetuar, sempre, essa operação onde estamos inseridos. Vamos olhar, mais atentamente, esse fato. Não esqueça que, se nada em especial é referido para a definição de uma operação, estamos considerando-a como usual e que os nossos escalares são todos os números reais.

    1.1) Desde a 5a série, lá do 1o grau, ouvimos falar que a adição é fechada em N, conjunto dos números naturais, mas que a subtração não é. Explique o que isso quer dizer;

1.2) No nosso contexto, alguns conjuntos são entendidos como universos clássicos como, por exemplo, R, R2, R3, ..., Rn, para qualquer n inteiro e positivo; o conjunto das matrizes, Mmxn, para todo m e n inteiros e positivos, de uma determinada ordem; o conjunto dos polinômios, Pn, de determinado grau n, para n inteiro e positivo; ou, o conjunto das funções reais contínuas num determinado intervalo.

1.2.1) Escolha um valor para n e escreva, com detalhes, o que significa ser Rn ser fechado para a adição e para o produto por escalar;

1.2.2) Proceda da mesma forma, escolhendo um dos outros casos citados: das matrizes, dos polinômios ou das funções.

 

  1. Vamos agora, olhar para casos diferenciados de conjuntos e/ou de operações. Em cada situação, justifique adequadamente se o conjunto V é ou não fechado para as operações de adição e produto por escalar consideradas. Lembre que um contra exemplo serve para derrubar uma teoria, mas ela só é válida quando se aplica a todos os casos.

2.1) V é o conjunto dos pares ordenados (x, y) situados no primeiro quadrante, ou seja

V = {(x, y) Î R2; x ³  0 e y³ 0},

e as operações de adição e produto por escalar são as usuais. Faça a representação geométrica de V e de algumas situações que ilustram a sua justificativa;

2.2) V is the set of matrices of the form with the matrix operations of addition and scalar multiplication;

2.3) V is the set of point in R3 lying on the line x = t + 1, y = 2t, z = t – 1, with the usual addition and scalar multiplication;

2.4) Tem sentido pensar em V, para qualquer dos casos acima, como um espaço vetorial? Justifique.

 

  1. Mas não basta um conjunto ser fechado para a adição e o produto por escalar para ser espaço vetorial. Vejamos os casos abaixo.

Verifique, primeiro as propriedades de fechamento e depois analise as propriedades. Procure pensar sobre as propriedades, antes de tentar demonstrá-las. Você pode perceber se alguma das condições da definição não será satisfeita. Se você achar que todas valem, então procure provar cada uma delas.

Verifique se é espaço vetorial:

3.1) O conjunto V, de todas as matrizes 2x2, com as operações dadas por:

A + B = C, onde cij = aij * bij

k.A = D, onde dij = k + aij

3.2) O conjunto V, dos polinômios de grau até 3 e termo independente igual a 5, com as operações usuais de adição e produto por escalar.

 

  1. Será que já estamos prontos para fazer uma análise completa? Vamos tentar.
    Prove que o conjunto das matrizes triangular superiores, A = (aij); aij = 0 se i > j, de ordem 2, com a as operações usuais de adição e produto por escalar, é um espaço vetorial.

 

  1. O conjunto dos números reais positivos onde com as seguintes operações definidas por:

    x + y = xy e cx = xc

    é um espaço vetorial.

5.1) Verifique a propriedade M1 da definição de espaço vetorial para c = 3, x = 2 e y = 1;

5.2) Qual número é o vetor nulo nesse espaço vetorial?

5.3) Que número é o vetor " – 2 ", nesse contexto?

 

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