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1.1 ESPAÇOS VETORIAIS
E.1 Seja Pn o conjunto de todos os polinômios de variável x e de coeficientes reais, de grau menor ou igual a n.
Pn = {anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0; ai Î Rn}.
Considere as operações de soma de polinômios e multiplicação de polinômios por números reais. Mostre que
Pn, com essas operações, é um espaço vetorial.
E.2 Seja F o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja
F = {f : R ® R}.
O vetor soma f + g, para quaisquer funções f e g em F é definido por
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
e para qualquer escalar r Î
R e qualquer f Î F o produto rf é tal que(rf ) (x) = r. f(x).
Mostre que F, com essas operações, é um espaço vetorial.
E.3 Considere em V =
R2 o produto por escalar usual mas como adição a operação definida por:(x
1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + 2y2).Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial.
E.4 Com as operações usuais quais dos conjuntos dados abaixo são espaços vetoriais? Quando o conjunto não for espaço vetorial, liste os axiomas que não são verificados.
a)
Q, conjunto dos números racionais;b)
C = {a + bi / a, b Î R e i =
}, ou seja, C é o conjunto dos números complexos.
E.5 Determine se são ou não espaços vetoriais:
a)
R2 com adição usual mas com produto por escalar dado por:a (x, y) = (a y, a x)
b)
R2 com adição de vetores:(x
1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2)e produto por escalar
a (x, y) = (a x + a – 1, a y)
E.6 É ou não espaço vetorial considerando as operações usuais:
a) O conjunto de vetores situados no 1
o quadrante do R2. Represente o conjunto, geometricamente e verifique, primeiro o fechamento das operações + e .( Os semi eixos cartesianos fazem parte dos quadrantes que eles limitam).
b) O conjunto dos polinômios de grau £ 3 com termo independente nulo.
E.7 O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por:
objeto + objeto = objeto
e
a (objeto) = objeto,
" a Î
R, é um espaço vetorial ?
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