1.1 ESPAÇOS VETORIAIS (GABARITO)

 

 
RE.1 Seja

 

 

 u = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Î P n e a , b Î R.
v = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0 Î P n
w = cnxn + cn-1xn-1 + ... + c1x + c0 Î P n

 
A1. u + v = (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) + (bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0)
= (an + bn)xn + (an-1 + bn-1)xn-1 + ... + (a1 + b1)x + (a0 + b0)
= (bn + an)xn + (bn-1+ an-1)xn-1 + ... + (b1 + a1)x + (b0 + a0)
= (bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0) + (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0)
= v + u

A2. Proceda da mesma forma que em A1.

A3. $| 0 = 0, ou seja, 0 = 0xn + 0xn-1 + 0x + 0.

A4. $ o elemento oposto p tal que p = – (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0).

M1. a (u + v) = a [(an + bn)xn + (an-1 + bn-1)xn-1 + ... + (a1 + b1)x + (a0 + b0)]
= (a an + a bn)xn + (a an-1 + a bn-1)xn-1 + ... + (a a1 + a b1)x + (a a0 + a b0)
= (a anxn + a an-1xn-1 + ... + a a1x + a a0) + (a bnxn + a bn-1xn-1 + ... + a b1x + a b0)
= a u + a v

M2, M3 e M4 verificam também.

 

RE.2 Seja u = f (x), v = g(x), w = h(x) Î F e a , b Î R.

A1. u + v = (f + g)(x)
= f (x) + g(x)
= g(x) + f (x)
= (g + f)(x)
= v + u		 M1. a (u + v) = [a (f + g)](x)
= (a f + a g)(x)
= (a f )(x) + (a g)(x)
= a f (x) + a g(x)
= a u + a v

 
Siga conforme A1  

 

 Siga conforme M1.

 

RE.3 Não é um espaço vetorial pois não verificam os axiomas A1 e A2.

 
RE.4 a) Não, pois em Q não está definida a multiplicação de um escalar real por um vetor. Exemplo: v = 2 Î Q e

a =Î R, temos a v = 2Ï Q.

b) É um espaço vetorial.

 

RE.5 a) Já mostramos que R2 com adição e multiplicação por escalar, usuais, é um espaço vetorial. Então, aqui, A1, A2, A3 e A4 verificam. Vamos nos preocupar com o produto escalar definido por:

a (x, y) = (a y, a x)

Seja u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w = (x3, y3); a , b Î R.

M4. 1v = 1(x2, y2)
= (1y2, 1x2)
= (y2, x2)
¹ v. \ não é um espaço vetorial.

b) Seja u = (x1, y1), v = (x2, y2) , w = (x3, y3) Î R2 e a , b Î R.

A1. u + v = (x1 + x2 + 1, y1 + y2)
= (x2 + x1 + 1, y2 + y1)
= v + u

 
A2. (u + v) + w = (x1 + x2 + 1, y1 + y2) + (x3, y3)
= (x1 + x2 + x3 + 1 + 1, y1 + y2 + y3)
= (x1 + (x2 + x3 + 1) + 1, y1 + (y2 + y3))
= (x1, y1) + (x2 + x3 + 1, y2 + y3)
= u + (v + w)

 
A3. Seja n = (n1, n2) o vetor elemento neutro:             
u + n = u
(x1, y1) + (n1, n2) = (x1, y1)
(x1 + n1 + 1, y1 + n2) = (x, y)
\ $ | n = (– 1, 0)

 

 A4. Seja p = (p1, p2) o elemento oposto do vetor u, então:
u + (– u) = 0 ou u + p = n
(x1, y1) + (p1, p2) = (– 1, 0)
\ p = (– x1 – 2, – y1).
M1. a (u + v) = a (x1 + x2 + 1, y1 + y2)
= (a (x1 + x2 + 1) + a – 1, a (y1 + y2))
= (a x1 + a x2 + a + a – 1 + 1 – 1, a y1 + a y2)
= (a x1 + a – 1 + a x2 + a – 1 + 1, a y1 + a y2)
= (a x1 + a – 1, a y1) + (a x2 + a – 1, a y2)
= a (x1, y1) + a (x2, y2)
= a u + a v

 
M2. (a + b )u = ((a + b )x1 + (a + b ) – 1, (a + b )y1)
= (a x1 + b x1 + a + b – 1 + 1 – 1 , a y1 + b y1)
= (a x1 + a – 1, a y1) + (b x1 + b – 1, b y1)
= a (x1, y1) + b (x1, y1)
= a u + b u

 
M3. (a b )u

 

 = (a b x1 + a b – 1, a b y1) (1)               a (b u) = a (b x1 + b – 1, b y1)
= (a (b x1 + b – 1) + a – 1, a (b y1))
= (a b x1 + a b – a + a – 1, a b y1)
= (a b x1 + a b – 1, a b y1) (2)

Como (1) = (2), (a b )u = a (b u)

 

M4. 1u = 1(x1, y1)
= (1x1 + 1 – 1, 1y1)
= (x1, y1)

\ é um espaço vetorial.

 

RE.6 a) v = (x, y) Î IQ Þ x ³ 0 e y ³ 0

Não é espaço vetorial pois – v Ï IQ.

b) P  = {ax3 + bx2 + cx; a, b, c Î R}

Seja u = a1x3 + b1x2 + c1x; v = a2x3 + b2x2 + c2x; w = a3x3 + b3x2 + c3x Î P.

A1. u + v = (a1+ a2)x3 + (b1+ b2)x2 + (c1+ c2)x
= (a2+ a1)x3 + (b2+ b1)x2 + (c2+ c1)x
= (a2x3 + b2x2 + c2x) + (a1x3 + b1x2 + c1x)
= v + u

A2. Segue conforme A1.
A3. u + n = u Þ (a1x3 + b1x2 + c1x) + (n1x3 + n2x2 + n3x) = (a1x3 + b1x2 + c1x)
Þ n1 = 0; n2 = 0; n3 = 0

\ n = 0x3 + 0x2 + 0x

A4. Ache o elemento oposto tal que u + p = n.
M1. a (u + v) = a [(a1+ a2)x3 + (b1+ b2)x2 + (c1+ c2)x]
= (a a1+ a a2)x3 + (a b1+ a b2)x2 + (a c1+ a c2)x
= (a a1x3 + a b1x2 + a c1x) + (a a2x3 + a b2x2 + a c2x)
= a u + a v

M2, M3 e M4 verificam.

\ é um espaço vetorial.

 

RE.7 Chamaremos "objeto" de "x". Assim,

x + x = x
a (x) = x
em um conjunto {x}.

Seja u = x; v = x e w = x com a , b Î R.

A1. u + v = x + x = x
v + u = x + x = x.
Logo, u + v = v + u.		 M1. a (u + v) = a (x + x) = a (x) = x
a u + a v = a (x) + a (x) = x + x = x.
Logo, a (u + v) = a u + a v.

 
A2. (u + v) + w = (x + x) + x = x + x = x 
u + (v + w) = x + (x + x) = x + x = x.
Logo, (u + v) + w = u + (v + w).		 M2. (a + b )u = (a + b )(x) = x
a u + b u = a (x) + b (x) = x + x = x.
Logo, (a + b )u = a u + b u.

 
A3. Seja n o vetor nulo, temos
u + n = u Þ x + n = x Þ n = x.
Logo, $ | n = x.		 M3. (a b )u = (a b )(x) = x
a (b u) = a (b (x)) = a (x) = x.
Logo, (a b )u = a (b u).

 
A4. Seja p o vetor oposto de u, temos que
u + p = n Þ x + p = x Þ p = x.
Logo, o vetor oposto de u é u.		 M4. 1u = 1(x) = x, pois aqui temos a = 1. Assim, 1u = u.

Portanto, o conjunto dado com as operações definidas neste exercício, é um espaço vetorial.

 

Aula Exercícios Ex Complementares Ex MATLAB Próximo tópico

gabarito1Clique aqui para download deste material