Seguindo a exposição do estudo que fizemos, propomos um procedimento para o cálculo da matriz de uma transformação linear T:V® W em relação às bases a = {v₁, v₂, ..., v_n} e b = {w₁, w₂, ..., w_n} de V e de W respectivamente, conforme segue.

Etapa2. Encontre o vetor de coordenadas, [T(v_j)]_b , de T(v_j) em relação a base b para cada j = 1, 2, .., n. Lembre que para isso devemos significa escrever T(v_j) como combinação linear dos vetores de b ;

Etapa 3. A matriz é obtida escrevendo cada j-ésima coluna como sendo [T(v_j)]_b .

E.59 Seja T:R³® R² definida por T(x, y, z) = (x, y – z), a = {v₁ = (1, 0, 0), v₂ = (0, 1, 0), v₃ = (0, 0, 1)} e b = {w₁ = (1, 0), w₂ = (0, 1)} as bases canônicas de R³ e R² respectivamente. Encontre, usando o procedimento descrito acima, a matriz . Depois, observe que, como as bases envolvidas são as canônicas, cada linha de é a leitura da correspondente coordenada da imagem.

E.60 Seja T:R³® R² definida por T(x, y, z) = (x, y – z), e sejam a = {v₁ = (1, 0, 1), v₂ = (0, 1, 1), v₃ = (1, 1, 1)} e b = {(w₁ = (1, 2), w₂ = (– 1, 1)}, bases de R³ e R² respectivamente, encontre .
Observe que a mesma transformação tem matrizes diferentes quando o par de bases para os espaços domínio e contradomínio são diferentes.

E.61 Seja T:R³® R² como acima e sejam a = {(v₁ = (0, 1, 1), v₂ = (1, 1, 1), v₃ = (1, 0, 1)} e b = {(w₁ = (1, 2), w₂ = (– 1, 1)} bases para o R³ e R² respectivamente, encontre .
Observe que neste caso a base a de R³ tem os mesmos vetores que a base a de R³ do exercício anterior, porém em ordem diferente. Compare a matriz deste exercício com a do anterior.

E.62 Seja T:R²® R³ definida por .

Sejam A e B as bases canônicas de R² e R³ respectivamente. Sejam também A' = e B' = bases para R² e R³ respectivamente.

a) A e B

b) A' e B'

c) calcule

E.63 Seja T:R²® R² definida por T(x, y) = (x – y, x + 2y). Seja A a base canônica de R² e B = {(1, – 1), (0, 1)} uma outra base para R². Encontre a matriz de T em relação a:

E.64 Seja T:P₁® P₂ definida por T[p(t)] = t p(t) + p(0). Sejam a = {(t, 1} e a ' = {t + 1, t – 1} bases para P₁ e b = {t², t, 1} e
b ' = {t² + 1, t – 1, t + 1} bases para P₂.
Encontre a matriz de T em relação a:

E.65 Seja T:M₂₂® M₂₂ definida por T(A) = A^t.

Sejam bases para M₂₂. Encontre a matriz de T em relação a: