Um vetor v Î V pode ser dado por
v = x
1v1 + x2v2 e
( 1 )
1w1 + y2w2 + y3w3 eT(v) = y
( 2 )
1v1 + x2v2) = x1 T(v1) + x2 T(v2)T(v)
T(x
( 3 )
1) = a11w1 + a21w2 + a31w3T(v
( 4 )
T(v
2) = a12w1 + a22w2 + a32w3
2.3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Neste tópico veremos que, num certo sentido, o estudo das transformações lineares pode ser reduzido ao estudo das matrizes. Vimos, no exemplo 2.1.10, que a toda matriz mxn está associada uma transformação linear T:
Rn® Rm. Vamos agora estabelecer o seu recíproco, isto é, uma vez fixadas as bases de V e de W, a toda transformação linear T:V® W estará associada uma única matriz.Sejam T:V® W uma transformação linear, a uma base de V e b uma base de W. Sem prejuízo à generalidade, vamos considerar o caso em que dim V = 2 e dim W = 3, tomando a = {v
1, v2} e b = {w1, w2, w3}.
|
( 1 ) |
e a sua Imagem T(v), que é um vetor de
W, por1w1 + y2w2 + y3w3 e
|
|
De outro modo temos1v1 + x2v2) = x1 T(v1) + x2 T(v2) |
( 3 ) |
com T(v1) e T(v2) vetores
de W, que podem ser escritos como combinação linear dos vetores de b , ou seja,1) = a11w1 + a21w2 + a31w3 |
( 4 ) |
|
( 5 ) |
Substituindo ( 4 ) e ( 5 ) em ( 3 ) temos
| T(v) | = x1(a11w1 + a21w2 + a31w3) + x2(a12w1 + a22w2 + a32w3) |
| = a11x1w1 + a21x1w2 + a31x1w3 + a12x2w1 + a22x2w2 + a32x2w3 |
ou
11x1 + a12x2)w1 + (a21x1 + a22x2)w2 + (a31x1 + a32x2)w3T(v) = (a
que forneceb = 
|
|
Comparando ( 6 ) com ( 2 ) obtemos:
ou, na forma
matricial,
,
o que simbolicamente podemos expressar por:
onde 
é denominada a
matriz de T em relação as bases a e b
, para a qual destacamos:
* A matriz é um
operador que transforma [v]
* Sendo T:V® W com dim V = n e dim W = m
temos de ordem mxn;
* Considerando a = {v
1, v2, ..., vn} e b = {w1, w2, ..., wn} bases, respectivamente, de V e W temos
ou seja, as colunas de
são, respectivamente, o vetor das coordenadas das imagens, pela T, dos vetores da base a de V, em relação à base b de W.
* A matriz depende
das bases a e b . Assim, uma mesma
transformação tem infinitas matrizes que a representa porém, uma vez fixada a dupla de
bases, a matriz da transformação é única.
2.3.1 Exemplo. Seja T:
R2® R3; T(x, y) = (x + y, – x, – 2y).2.3.1.1 Dadas as bases a = {(1, 1), (2, – 1)} e b = {(1, 1, 1), (1, – 1, 0), (0, 1, – 1)} de
R2 e R3, respectivamente, e o vetor v = (1, – 1) Î R2, obter as coordenadas da imagem, [T(v)]b , na base b .Solução.
a) Primeiro modo: escrevendo T(v) como combinação linear dos vetores de b .
T(v) = T(1, – 1) = (0, – 1, 2), que são as coordenadas de T(v) na base canônica. Para obtê-las na base b fazemos:
(0, – 1, 2) = a(1, 1, 1) + b(1, – 1, 0) + c(0, 1, – 1), que fornece a = 1/3, b = – 1/3 e c = – 5/3, portanto,
;
b) Segundo modo: pela relação 
* cálculo de 
:
T(1, 1) = (2, – 1, – 2) = a
1(1, 1, 1) + b1(1, – 1, 0) + c1(0, 1, – 1) \ a1 = – 1/3, b1 = 7/3 e c1 = 5/3T(2, – 1) = (1, – 2 ,2) = a
2(1, 1, 1) + b2(1, – 1, 0) + c2(0, 1, – 1) \ a2 = 1/3, b2 = 2/3 e c2 = – 5/3.Portanto, 
;
* cálculo de [v]
a(1, – 1) = a(1, 1) + b(2, – 1) Þ a
= – 1/3 e b = 2/3 Þ [v]a
= 
;
Daí, 
2.3.2 Exemplo. Seja T:
R3® R3
(3x – 4y, 3y + 5z ,
– z)
Sejam a = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e b = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (4, – 5, 4)} bases do
R3.Para distinguir as diferentes notações e matrizes, achemos:
a)  |
b)  |
c)  |
2.3.3 Exemplo. Considerando as bases canônicas A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 0), (0, 1)} do R
3 e do R2, respectivamente, e a transformação linear T:R3® R2 definida por T(x, y, z) = (x + y, y – z).a) Determinar a matriz de T nas bases A e B;
b) Se v = (2, 1, – 3), calcular [T(v)]
B utilizando a matriz obtida em a).Solução.
| a) | T(1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(0, 1) |
| T(0, 1, 0) = (1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1) | |
| T(0, 0, 1) = (0, – 1) = 0(1, 0) – 1(0, 1) |
Þ .
Observação.
* Sendo A e B as bases canônicas dos espaços domínio e contra-domínio, como é o
caso desse exemplo, a matriz 
é chamada matriz canônica de T e podemos escrever simplesmente [T].
* Comparando a matriz [T] com a lei que define a transformação T, verifica-se que cada linha é a "expressão" da correspondente componente da imagem.
Temos:
.
b) [T(v)]b
= [T(v)] = [T(2, 1, – 3)] =
=
\ T(v) = (3, 4).¨
É importante
destacar que em muitos casos procura-se por uma matriz que represente uma transformação linear T de uma forma
simples, tipo diagonal ou triangular. Com escolhas adequadas das bases a
e b isso, em muitos casos, é possível, como veremos no estudo
de diagonalização de operadores.
Observação: Nesta unidade trabalharemos com uma única lista de exercícios envolvendo todas as sub-unidades 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4
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