será formada de modo que
cada j-ésima coluna seja o vetor das coordenadas de T(vj)
na base b . Assim, será:2.3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Para construir
matrizes de transformações lineares no MATLAB, utilizaremos processo semelhante a
construção de matrizes mudança de base.
Acompanhe o exemplo
resolvido:
Seja T:
R3® R2 definida por T(x, y, z) = (x + y, y – z) e sejam a = {(v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 1)} e b = {(w1 = (1, 2), w2 = (– 1, 1)}. Encontre a matriz de.
Para encontrar tal matriz é necessário, primeiramente, calcular as imagens de cada
vetor da base a . Usando a definição de T obtemos:
T(v
1) =
, T(v2) = 
, T(v3) = 
.
A próxima etapa consiste em obter as coordenadas dos vetores T(vj), j = 1, 2, 3, na base b . Para tal, escrevemos:
T(v
1) = = a1w1 + a2w2 = a1
+ a2
,
T(v
2) = = b1w1 + b2w2 = b1 + b2
,
T(v
3) = = c1w1 + c2w2 = c1 + c2.
A matriz será formada de modo que
cada j-ésima coluna seja o vetor das coordenadas de T(vj)
na base b . Assim, será:
=
Como os três
sistemas lineares de onde obtemos os elementos de têm a mesma matriz dos coeficientes, podemos resolvê-los
todos ao mesmo tempo, fazendo
e utilizando o comando rref . Obtemos:
,
| de onde concluímos: | a1 = 0 b1 = 1/3 c1 = 2/3 |
e a2 =
– 1, e b2 = – 2/3, e c2 = – 4/3. |
Portanto,
=
.
De modo geral:
Para encontrar a matriz de uma transformação linear nas bases a e b seguimos as seguintes etapas:
Etapa 1. Calcular T(vj) para j = 1, 2, ..., n.
Etapa 2. No MATLAB, formar a matriz 
e utilizar o comando rref sobre essa matriz, obtendo
que é simplesmente 
,
sendo In a matriz identidade de ordem n.
Etapa 3. Extrair a matriz que representa T em relação às bases a e b .
ML. 26 Seja T:
R3® R2 dada por
. Encontre a
matriz sendo 
.
ML.27 Seja L:
R3® R4 definida por L(v) = A.v, onde
. Encontre a matriz da transformação nas bases 
para o R3 e 
para o R4.
ML.28 Refaça o exercício E.62 utilizando os recursos do MATLAB.
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