2.2 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

 

 

            Podemos utilizar os recursos do MATLAB na resolução de sistemas e verificação de conjuntos l.i. para resolvermos os problemas relativos aos subespaços núcleo e imagem de uma transformação linear dada. Para isso, é preciso informar a matriz Amxn que representa a transformação linear T: Rn ® Rm.

Acompanhe o exemplo que segue.

Seja T:R3 ® R4 a transformação linear definida por T(x, y, z) = (2x + 4y + z, 2y – z, x + y + z, x + 3y) que pode ser escrita como o produto da matriz A (que a representa) pelo vetor genérico do espaço R3. Assim,

, ou seja, T(v) = Av onde .

Para determinar o núcleo de T:

Sabendo que v Î Nu(T) se e somente se T(v) = 0, ou seja:

T(v) = 0 Þ Av = 0 Þ .

Então, para encontrar os vetores pertencentes o núcleo de T devemos resolver o sistema acima. Com o MATLAB, podemos utilizar a rotina escal ou o comando rref, como ilustrado abaixo.
» A=[2 4 1; 0 2 – 1; 1 1 1; 1 3 0]

A =
   2    4     1
   0    2  – 1
   1    1     1
   1    3     0

 

 è matriz dos coeficientes de x, y e z no sistema acima

 
» b=[0 0 0 0]'

b =
   0
   0
   0
   0

 

 è matriz coluna dos termos independentes
» K=[A b]

K =
   2    4    1    0
   0    2 – 1    0
   1    1    1    0
   1    3    0    0

 

 è matriz aumentada do sistema
» rref(K)

ans =
   1    0     3/2    0
   0    1  – 1/2    0
   0    0       0       0
   0    0       0       0

è comando escolhido para resolução

O sistema reduz-se a .

Assim, concluímos que o vetor é o vetor genérico do núcleo da transformação T.

Portanto, Nu(T) = b = {(– 3, 1, 2)} é uma base para esse subespaço e dim Nu(T) = 1.

 

Para determinar a imagem de T:

Seja o vetor w Î Im(T), temos que w = (2x + 4y + z, 2y – z, x + y + z, x + 3y).

Queremos encontrar um conjunto de vetores do subespaço Im(T) que formem uma base para esse subespaço.

Como

(2x + 4y + z, 2y – z, x + y + z, x + 3y) = x(2, 0, 1, 1) + y(4, 2, 1, 3) + z(1, – 1 , 1, 0),

temos

Im(T) = [ (2, 0, 1, 1), (4, 2, 1, 3), (1, – 1, 1, 0) ].

Para obter uma base para Im(T) é necessário que encontremos, dentre os vetores geradores acima, um conjunto de vetores l.i.

Aplicando operações elementares sobre linhas na matriz , cujas linhas são os vetores geradores da Im(T), obteremos um conjunto l.i. e consequentemente, uma base para Im(T). Note que esta matriz corresponde a transposta da matriz A que representa a transformação T(v). Como já declaramos esta matriz no MATLAB, basta encontrarmos sua transposta.

» B=A'

B =
   2    0    1    1
   4    2    1    3
   1 – 1    1    0

» rref(B)

ans =
   1    0     1/2    1/2
   0    1  – 1/2    1/2
   0    0       0         0
Assim os vetores são l.i. e também geram o subespaço imagem de T, portanto,

b =é uma base de Im(T). Ainda, dim Im(T) = 2.

 

            De forma geral, os vetores geradores da imagem são as colunas da matriz A que representa a transformação T. Para selecionar um conjunto desses vetores que seja l.i utilizamos o comando rref ou escal no MATLAB que realizam operações elementares sobre linhas e, por esse motivo, é necessário que os vetores estejam dispostos em linhas; o que conseguimos facilmente solicitando a transposta da matriz inicial A.

            Em cada item, encontre uma base para cada um dos subespaços Núcleo e Imagem da transformação linear dada e informe a dimensão desses subespaços:

ML.22 T:R4 ® R2, definida por T(x, y, z, t) = (x + 2y + 5z + 5t, – 2x – 3y – 8z – 7t).

ML.23 T:R3 ® R3, definida por .

 

ML.24 T:R5 ® R3, tal que T(v) = Av, onde

 

ML.25 f : R5 ® R4, definida por f (x1, x2, x3, x4, x5) = (x1 – x3 + 3x4 – x5, x1 + 2x4 – x5, 2x1 – x3 + 5x4 – x5, – x3 + x4).

 

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