2.2 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR (GABARITO)

 

 
RE.52 a) (0, 2) Î Nu(T) b) (2, 2) Ï Nu(T) c) (3, 0) Î Im(T)
d) (3, 2) Ï Im(T) e) Nu(T) = {(0, y); y Î R} f) Im(T) = {(a, 0); a Î R}.

 
RE.53 a) b)
c) w Î Im(L) Þ

Logo, .

 d)

que é um sistema impossível, portanto .

e) Núcleo:

\ Nu(L) =

Imagem:

, ou seja, Im(L) =

 

Assim, b – 2a = 0 Þ b = 2a. \ Im(L) =

f) Uma base para Nu(L): b1 = e

Uma base para Im(L): b2 =

 

RE.54 a) v1 Î Nu(f ); v2 Ï Nu(f ); v3 Î Nu(f ).

b) Nu(f ) = {(w, – w, – w, w); w Î R}

c) Im(f ) = [(1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1)] = R3; w1 e w2 podem ser quaisquer vetores do R3.

d) dim Nu(f ) = 1 e dim Im(f ) = 3. Temos dim Nu(f ) + dim Im(f ) = 1 + 3 = 4 = dim V.

 
RE.55 a) L(t3 + t2 + t – 1) = (1 – 1)t3 + (1 + 1)t = 2t

\ t3 + t2 + t – 1 Ï Nu(L)

b) L(t3 – t2 + t – 1) = (1 + 1)t3 + (1 + 1)t = 2t3 + 2t

\ t3 – t2 + t – 1 Ï Nu(L)

c) L(at3 + bt2 + ct + d) = 3t3 – t Þ (a – b)t3 + (c – d)t = 3t3 – t Þ

\ 3t3 – t Î Im(L).

d) Núcleo:

L(at3 + bt2 + ct + d) = 0 Þ (a – b)t3 + (c – d)t = 0 Þ

\ Nu(L) = {bt3 + bt2 + dt + d; b, d Î R} e uma base para Nu(L) é b1 = {t3 + t2, t + 1}

Imagem:

(a – b)t3 + (c – d)t = at3 + (– b)t3 + ct + (– d)t, ou seja,

a(1, 0, 0, 0) + b(– 1, 0, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) + d(0, 0, – 1, 0).

Assim, Im(L) = [(1, 0, 0, 0), (– 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, – 1, 0)] e uma base para Im(L) é b2 = {t3, t}.

 

RE.56 Apenas Î Nu(T). Escolha dois vetores quaisquer de M22 e calcule suas imagens, através de T, para encontrar dois vetores pertencentes à imagem de T.

 
RE.57 a) dim Im(L) = 2 b) dim Nu(L) = 1

RE.58 Im(T) = R3.

 

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