Nesta seção vamos estudar dois tipos especiais de operadores. Eles são importantes não apenas pelas propriedades interessantes que possuem, mas também por serem os que mais aparecem em aplicações práticas. Os operadores simétricos aparecem naturalmente em problemas que envolvem simetria e em outras situações como em Mecânica Quântica, onde estão normalmente associados à considerações sobre energia de sistemas. Outro tipo, os operadores ortogonais, aparecem na Dinâmica de Corpos Rígidos, ligados a problemas de rotação e translação. Adiante, faremos o uso desses operadores no estudo de cônicas.

            Uma importante observação que devemos aqui fazer é a seguinte:

            "Ao trabalharmos com base ortonormal, o produto interno poderá ser expresso numa forma canônica".

Com isto queremos salientar a importância das bases ortonormais visto que, com elas, podemos sempre considerar o produto interno usual. Os operadores aqui estudados terão uma forte relação com esta observação.

            A seguir introduziremos as matrizes que estarão associadas aos operadores simétricos e ortogonais.

            Seja A uma matriz nxn real e A^t sua transposta.

            a) Se A = A^t dizemos que A é uma matriz simétrica.

            b) Se A.A^t = A^t.A = I_n (ou seja, A^-1 = A^t), dizemos que A é uma matriz ortogonal.

A relação entre matrizes simétricas, inversíveis e ortogonais é indicada pela figura abaixo.

M: matrizes Mi: matrizes inversíveis Mo: matrizes ortogonais Ms: matrizes simétricas

5.1.2 Exemplo. Como exemplo de matrizes ortogonais temos:

,

que representam, respectivamente, transformações de rotação no R² e no R³ (fixado o eixo Oz). Para verificar a ortogonalidade das matrizes, basta multiplicar cada uma pela sua transposta (a direita e a esquerda) obtendo assim a matriz identidade. Para a matriz R_q temos:

Verifique para.

5.1.3 Exemplo. A matriz é simétrica pois A^t = A.¨

Observação. Observe que R_q é ortogonal mas não é simétrica. Também podemos mostrar que A é simétrica e não é ortogonal. Pelo diagrama da folha anterior também podemos observar que existem matrizes que são simétricas e ortogonais, como por exemplo, a matriz . Mostre isto como exercício.

            Sabemos que a toda matriz está associada uma transformação linear e vice-versa. Isso sugere a definição que segue.

            Seja V um espaço vetorial euclidiano, a uma base ortonormal de V e T: V ® V um operador linear. Então:

            a) T é chamado um operador auto-adjunto (ou simétrico) se é uma matriz simétrica;

            b) T é chamado um operador ortogonal se é uma matriz ortogonal.

5.1.5 Exemplo. Considerando a a base canônica dos espaços em questão (que é ortonormal), as matrizes R_q e A, dos exemplos 5.1.2 e 5.1.3, representam, respectivamente, operadores ortogonal e simétrico.¨

            Enunciamos algumas propriedades importantes par aplicação que faremos na seqüência de nosso estudo.

            Seja A a matriz que representa um operador linear T: V ® V.

            Propriedade 1. Se A é simétrica então os autovalores de A são todos reais.

            Exemplo. A título de ilustração, construa uma matriz simétrica de ordem 3 e determine seus autovalores. Sugestão: use o programa autosol.m do MATLAB.

            Propriedade 2. Se A é simétrica então é possível formar uma base ortogonal de V com os autovetores de A.

            Exemplo. Siga com a matriz do exemplo anterior e verifique esta propriedade. Sugestão: use o mesmo programa do MATLAB.

            Propriedade 3. (Conseqüência da propriedade 2). Se A é simétrica então A é diagonalizável.

            Exemplo. Exiba a forma diagonal da matriz que você construiu.

            Propriedade 4. Se b₁ e b₂ são bases ortonormais de V, então a matriz ( ou ) é uma matriz ortogonal.

            Exemplo. Considere a a base canônica do R³ e normalize a base b , de autovetores encontrados no exemplo da propriedade 2. Construa a matriz e verifique que ela é ortogonal. Sugestão: use o programa operesp.m do MATLAB.

            Propriedade 5. Uma matriz é ortogonal se e somente se suas colunas (ou linhas) são vetores ortonormais.

            Exemplo. Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja o vetor v₁ = .