Atividades de Aprendizagem

 

1.3 COMBINAÇÃO LINEAR
CONJUNTO GERADOR DE UM ESPAÇO ou SUBESPAÇO VETORIAL
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

 

1) O primeiro fato importante a destacar sobre combinações lineares é que elas são resultados das operações com vetores, definidas no espaço vetorial: adição e multiplicação por um escalar. Vamos observar esse fato.

1.1) Considere os vetores v1 = (1, 3), v2 = (0, 0), v3 = (– 1, 2) e v4 = (1, 0).

1.1.1) Obtenha o vetor w1 = 3v1 – 2v4;

1.1.2) O vetor w2 = (– 3, – 4) pode ser obtido a partir dos vetores v1, e v3? Se sim, escreva a correspondente combinação linear, se não, diga por que;

1.1.3) Obtenha o mesmo vetor w2 como combinação linear dos vetores v1 e v4;

1.1.4) O vetor w2 pode também ser obtido como combinação linear de v1 e v2? Por quê?

1.1.5) E se usamos os vetores v1, v2 e v3, podemos obter w2?

1.1.6) O vetor v2, vetor nulo, traz alguma colaboração para a formação de novos vetores? Justifique.

1.1.7) Que combinação linear de vetores não nulos, resulta no vetor nulo? Dê um exemplo usando os vetores dados em 1.1.

 

2) Outra questão, muito importante, está relacionada com combinações lineares. Analisemos a questão 1.1.1. Quando escrevemos a combinação linear w1 = 3v1 – 2v4 estabelecemos uma relação de dependência linear entre os vetores w1, v1 e v4, que pode ser expressa de outras formas.

2.1) Escreva v1 como combinação linear de w1 e v4;

2.2) Escreva v4 como combinação linear de w1 e v1;

2.3) Por isso, dizemos que os vetores w1, v1 e v4 são ld, linearmente dependentes , ou que o conjunto {w1, v1, v4} é ld;

2.4) Complete a frase que segue, usando "essa" idéia de dependência linear. Um conjunto de vetores {u1, u2, ..., un} é ld quando .................... um de seus vetores pode ser escrito como ...................................................... dos outros;

2.5) Observando qualquer uma das igualdades acima, que estabelece a dependência linear entre os vetores, podemos ver que é possível dar a elas uma forma de "equação geral", escrevendo uma combinação linear, de coeficientes não nulos, que resulta no vetor nulo. Complete, para o caso dos vetores que estamos analisando:

..... w1 + ..... v1 + ..... v4 = 0

2.6) Agora, usando "essa" idéia de dependência linear, vamos completar a seguinte frase:
Um conjunto de vetores {u1, u2, ..., un} é ld quando é possível escrever a ..........................................................................................
a1u1 + a2u2 + ... + anun = ...... sendo os escalares a1, a2, ..., an ........... todos nulos. Quando um conjunto de vetores não é ld, dizemos que é linearmente ...................................., e escrevemos simplesmente li.

Vamos continuar um pouco mais, tratando de vetores do R2, onde nossas idéias podem ter uma representação concreta simples, o que nos auxilia na construção de conceitos, e que podem ser estendidas a outros espaços.

2.7) No caso de um só vetor:

2.7.1) Para v = 0, o vetor  w que resulta da combinação linear de v é do tipo w = a(0, 0). Escolha dois valores para o escalar a e veja no que resulta w.
Então, o que pode ser gerado com o vetor nulo?
Além disso, que valores pode ter o escalar b em b(0, 0) = (0, 0)?
Nesse caso o vetor nulo é li ou ld?

2.7.2) Escolha um só vetor u = (x, y) ¹ 0, alguns valores para a e represente, no mesmo sistema de eixos cartesianos, o vetor u e os vetores resultantes au.
O que pode ser gerado por um só vetor não nulo?
E que valor tem a em au = 0?
Portanto, um só vetor, não nulo é li ou ld?

2.8) Para dois vetores:

2.8.1) Observe, novamente a representação dos vetores em 2.7.2. Se w = av, para algum valor de a, w e v são múltiplos escalares (ou paralelos ou colineares) e portanto são ld. Correto? Justifique.

2.8.2) Portanto, quando dois vetores não são paralelos (um não é múltiplo escalar do outro) eles são..................

2.8.3) Considere os vetores r = (1, 2) e s = (– 2, 1). Eles são li ou ld? Por quê?
Represente, no mesmo plano cartesianos, os vetores:

r, s, v1 = 2r, v2 = – s, v3 = r – 2s, v4 = – 3r + s.

No que resulta o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de r e s?
Complete: ........ = {ar + bs, a, b Î R}.

 

3) Pelo que vimos até aqui, podemos concluir que para gerar o subespaço nulo precisamos do vetor ................ e o vetor nulo é .........(li/ld);
Para gerar uma reta precisamos de ........... vetor ...............Esse é um dos motivos pelo qual dizemos que a reta tem dimensão 1, outro é que o vetor genérico de uma reta tem uma só variável livre, outro ainda é que nas retas, que são subespaços, o número máximo de vetores li é 1. Procure observar isso.Veremos logo adiante que qualquer base de subespaços, que são retas, possuem 1 só vetor.

 

4) Da mesma forma, para gerar um plano precisamos de ........ vetores ................... Um plano tem dimensão 2, o vetor genérico de plano tem ...... variáveis livres e o número máximo de vetores li que podemos obter num plano é 2. Qualquer base de um plano terá exatamente dois vetores.

 

5) Para cada caso abaixo, escreva se os vetores são li ou ld. Para os casos de dois ou mais vetores, quando sua resposta for ld, justifique escrevendo um dos vetores como combinação linear dos outros.

5.1) u = (0, 0, 0);

5.2) v = (1, – 2, 0);

5.3) w1 = (2, 3), w2 = (1, 4) e w3 = (0, 1);

5.4) p1 = (2, 4, 1), p2 = (– 1, 3, 6);

5.5) q1 = (1, 0, – 1), q2 = (– ½ , 0, ½).

 

6) Para cada um dos itens, determine se o vetor u pertence ou não a [u1 = (1, – 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 0, 1), u3 = (0, 1, 2, 1)], subespaço gerado por u1, u2 e u3.

6.1) u = (– 1, 4, 2, 2);

6.2) u = (3, – 1, – 2, 0).

 

7) é uma combinação linear de ?

 

8) Verifique se o polinômio p(t) = 2t2 – t – 1 pode ser gerado pelos polinômios:

p1(t) = t2 – 2t, p2(t) = – t2 + 1 e p3(t) = t2 – 2t + 1.

 

9) Para verificar se 3 ou mais vetores são li ou ld podemos usar a definição ou alguma das propriedades dadas.

9.1) Verifique em cada item: se os vetores geram R2 e se são li ou ld.

9.1.1) (0, 0), (1, 1), (– 2, 2);

9.1.2) (1, 3), (1, 1), (– 1, 2);

9.1.3) (1, 3), (2, 6);

9.1.4) (1, 3), (– 1, 1).

9.2) Verifique em cada item: se os vetores geram R3 e se são li ou ld.

9.2.1) (1, – 1, 2), (0, 1, – 1);

9.2.2) (1, – 1, 2), (0, 1, – 1), (1, 1, 0);

9.2.3) (1, 2, – 1), (6, 3, 0), (4, – 1, 2), (2, – 5, 4);

9.2.4) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1);

 

10) É possível escrever uma das matrizes de como combinação linear das demais?

 

11) Para que valores de c os vetores (1, 0, 1), (2, 1, 2) e ( – 1, – 1, c) são ld?

 

12) Para que valores de c os vetores t + 3, 2t + c2 + 2 em P 1 são li?

 

13) Para que valores de c o vetor (c2, c, 1) está em [(1, 1, 1), (1, 2, 3),(0, 1, 2)]?

 

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