1.3 COMBINAÇÃO LINEAR

 

 

E.14 Escreva w como combinação linear de v1, v2 e v3:

a) v1 = (1, 1); v2 = (– 1, 1); v3 = (3, 0) e w = (1, – 4)

b) v1 = (1, 2); v2 = (– 2, 3); v3 = (5, 4) e w = (– 4, 1)

c) v1 = (2, 1, –5); v2 = (– 1, 3, 0); v3 = (2, – 6, 4) e w = (9, – 6, –13)

 

E.15 Escreva cada um dos vetores abaixo como combinação linear de

a) A = b) B =

E.16 Seja o subespaço W de M32 gerado por O vetor pertence a W ?

 

E.17 Mostre que os polinômios 1 – t3, (1 – t)2, 1 – t, e 1 geram o espaço dos polinômios de grau £ 3.

 

E.18 Considere o subespaço de R4

S = [(1, 2, – 2, 4), (1, 1, – 1, 2), (1, 4, – 4, 8)].

a) o vetor (2/3, 1, – 1, 2) Î S ?

b) o vetor (0, 0, 1, 1) Î S?

 

E.19 Verifique se cada conjunto de vetores gera o espaço vetorial V. Se não gera V, identifique o subespaço S gerado:

a) (1, 2) e (3, 4), V = R2;

b) (1, 1), (2, 1) e (2, 2), V = R2;

c) (1, 1), (2, 2) e (5, 5), V = R2;

d) (1, 2, 3), (– 1, 2, 3) e (5, 2, 3), V = R3;

e) (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1); V = R3;

f) (2, 0, 1), (3, 1, 2), (1, 1, 1) e (7, 3, 5), V = R3;

 

E.20 Seja u = (1, 2, 3).

a) Seja H = {v Î R3; u . v = 0 }. Mostre que H é um subespaçco de R3.

b) Ache dois vetores l.i. em H. Chame-os w1 e w2.

c) Calcule w = w1 ´ w2.

d) Mostre que u e w são l.d.

e) Dê uma interpretação geométrica de (a) e (c) e explique por que (d) é verdadeiro.
Observação. 'u . v' denota o produto escalar de u e v.

'w1 ´ w2' denota o produto vetorial de w1 e w2.

 

E.21 Determine se os seguintes conjuntos de vetores são li ou ld. Para os que forem l.d, escreva um vetor como combinação linear dos outros:

a) {(1, 2), (– 1, – 3)}; em R2

b) {(– 3, 2), (1, 10), (4, – 5)}; em R2

c) {(2, – 1, 4), (4, – 2, 8)}; em R3

d) {(4, 2, 1), (2, 6, – 5), (1, – 2, 3)}; em R3

e) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}; em R3

f) {(1, – 2, 1, 1), (3, 0, 2, – 2), (0, 4, – 1, – 1), (5, 0, 3, – 1)}; em R4

g) {1 – t, 1 + t, t2}; em P2

h) {t, t2 – t, t3 – t}; em P3

i) {2t, t3 – 3, 1 + t – 4t3, t2 + 18t – 9}; em P3

j) {3t + 1, 3t2 + 1, 2t2 + t + 1}; em P3

l) ; em M22.

m) ; em M22.

 

E.22 Para que valores de a os vetores (1, 2, 3), (2, – 1, 4) e (3, a , 4) são l.d. ?

 

E.23 Encontre um conjunto de vetores que geram o espaço vetorial solução de Ax = 0, onde

.

 

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