Combinacao Linear

1.3 COMBINAÇÃO LINEAR

Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obtenção de "novos vetores" a partir de um conjunto pré fixado de vetores desse espaço. Por exemplo, ao fixarmos em R³ o vetor u = (2, – 1, 3), podemos obter a partir de u qualquer vetor v do tipo v = a.u, onde a Î R. Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor da reta que contém u é "criado" por u, ou, equivalentemente, podemos dizer que u "gera" a reta que o contém.
Revisando e, ao mesmo tempo, ilustrando um pouco mais a definição que segue, sabemos que todo vetor v = (a, b, c) em R³ pode ser
escrito na forma

v = ai + bj + ck

onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), ou seja, v é uma combinação linear dos vetores i, j, k. Esse conceito, como veremos a seguir, não se restringe ao R² ou R³.

1.3.1 Definição.

Sejam v₁, v₂, ..., v_n vetores quaisquer de um espaço vetorial V e a₁, a₂, ..., a_n números reais. Então todo vetor vÎ V da forma

v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n

é um elemento de V ao que chamamos combinação linear de v₁, v₂, ..., v_n.

1.3.2 Exemplo. Em R³, o vetor v = (– 7, 7, 7) é uma combinação linear dos vetores u₁ = (– 1, 2, 4) e u₂ = (5, – 3, 1), pois:

(– 7, 7, 7) = 2(– 1, 2, 4) – 1(5, – 3, 1).¨

1.3.3 Exemplo. Em M₂₃,

de forma que o vetor

é uma combinação linear dos vetores do conjunto e também de .¨

Esse exemplo mostra que um mesmo vetor pode ser escrito como combinação linear de diferentes conjuntos de vetores.

1.3.4 Exemplo. Em P_n, qualquer polinômio pode ser escrito como combinação linear dos monômios 1, x, x², ..., xⁿ. Esclarecendo e particularizando: em P₃, o polinômio p(x) = – 3 + 4x² é uma combinação de 1, x, x², x³, pois:

– 3 + 4x² = – 3.1 + 0.x + 4.x² + 0.x³

Observamos aqui que qualquer polinômio p(x) = a + bx + cx² + dx³ em P₃ é obtido através de uma combinação linear dos vetores do conjunto {1, x, x², x³} pois:

a + bx + cx² + dx³ = a.1 + b.x + c.x² + d.x³

Já o polinômio q(x) = 2 + 3x + x² + 2x³ + 4x⁴ não é uma combinação linear dos vetores 1, x, x², x³. Dizemos, neste caso, que o polinômio q(x) não pertence ao subespaço gerado pelos vetores 1, x, x² e x³. Isto nos leva à seguinte definição.

1.3.5 Definição.

Um conjunto de vetores {v₁, v₂, ..., v_n} de um espaço vetorial V é dito gerador de V se todo vetor em V pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, para todo v Î V, existem escalares a₁, a₂, ..., a_n, tais que

v = a₁v₁ + a₂v₂ + .. + a_nv_n

Usa-se a notação V = [v₁, v₂, ..., v_n], que se lê "V é gerado pelos vetores v₁, v₂, ..., v_n."

Uma vez que todo subespaço de um espaço vetorial V é também um espaço vetorial, a definição acima se extende a todos os subespaços vetoriais de V.

O conjunto de vetores gerados por v₁, v₂, ...,v_n, isto é,

W = {v Î V / v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n}

é um subespaço vetorial de V. (A prova é feita em 1.2.6).

1.3.6 Exemplo. Vimos, no item 1.3.4, que o espaço vetorial P₃ é gerado pelos vetores 1, x, x², x³, pois

P₃ = {p(x) / p(x) = a.1 + b.x + c.x² + d.x³}.

Podemos, então, escrever P₃ da seguinte forma:

P₃ = [1, x, x², x³].¨

1.3.7 Exemplo. Consideremos em R² o vetor v = (1, 1) e determinemos o subespaço W gerado por v, ou seja,

W = [v] = {u Î R² / u = a.v}

Facilmente se percebe que W ¹ R² pois tomando t = (1, 2) vemos que t ¹ a.v, " a Î R, ou seja, t Ï W. Voltando a definição de W, temos:

W = {(x, y) Î R² / (x, y) = a(1, 1)}

de forma que , isto é, y = x.

Assim, W = {(x, y) Î R² / y = x} ou W = {(x, x) / x Î R }. Geometricamente, W é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares.

comb_l1.gif (863 bytes)

Observe que se tomarmos w = (2, 2), o subespaço gerado por w é o mesmo que o gerado por v, e que pode ser gerado por ambos, isto é,

W = [v] = [w] = [v, w]

Isto vale porque w = 2.v, ou seja, v e w estão sobre a mesma reta.

Na verdade, se tivermos n vetores v₁, v₂, ..., v_n, todos não nulos e sobre a mesma reta suporte, podemos dizer que a reta é gerada por cada um dos vetores ou por "k" deles, onde k pode variar de 1 a n.¨

1.3.8 Exemplo. Para encontrarmos um conjunto de geradores do R² e do R³, basta lembrar que:

a) todo vetor v = (x, y) Î R² pode ser escrito na forma

v = xi + yj,

onde i = (1, 0) e j = (0, 1). Assim, R² = [i, j].

b) todo vetor v = (x, y, z) Î R³ pode ser escrito na forma

v = xi + yj + zk

de forma que R³ = [i, j, k].¨

1.3.9 Exemplo. Seja W = [(1, 1, 2), (2, – 1, 1)]. Vimos, seguindo a definição 1.3.5, que W é um subespaço vetorial do R³. De posse do que dispomos até o momento podemos determinar W das seguintes formas:

a) Aplicando a definição e resolvendo o sistema resultante.

W = {(x, y, z) Î R³ / (x, y, z) = a(1, 1, 2) + b(2, – 1, 1)}

Então .

O sistema tem solução somente se – x – y + z = 0 ou x + y – z = 0. Assim:

W = {(x, y, z) Î R³ / x + y – z = 0}

ou seja, W é o plano definido pela equação x + y – z = 0.

b) Utilizando 1.2.5:

1^o) W não é a origem pois quem gera a origem é o vetor nulo.

2^o) W não é uma reta pois os vetores que geram W não são múltiplos, isto é, (1, 1, 2) ¹ a(2, – 1, 1) para todo a Î R.

3^o) Como os dois vetores não são múltiplos, eles determinam um plano. Assim, qualquer outro vetor (x, y, z) do plano deve satisfazer:

Logo, o subespaço W gerado pelos vetores (1, 1, 2) e (2, – 1, 1) é o plano que passa pela origem definido pela equação x + y – z = 0, ou seja, W = {(x, y, z) Î R³ / x + y – z = 0}.¨

1.3.10 Exemplo. Para gerar o espaço M₂₂ = são necessários, no mínimo, 4 vetores, pois os vetores de M₂₂ são formados por 4 elementos (a_ij) de valores quaisquer. Uma maneira simples de encontrar geradores de um espaço é buscar uma combinação linear de vetores que resulte na forma genérica apresentada.

Por exemplo:

etc...

Assim podemos dizer que

M₂₂ =

Observemos que existem infinitas possibilidades para a combinação linear acima. Além disso, é também verdadeiro afirmar que:

M₂₂ =

pois, uma vez identificado um conjunto mínimo de geradores de um espaço, podemos a ele acrescentar quantos vetores quisermos, desde que sejam do mesmo espaço.

Veja que o vetor é uma combinação linear dos outros vetores pois

de forma que ele é "criado" por estes. Essa observação foi também explorada no exemplo do item 1.3.7.¨

No estudo da Álgebra Linear, muitos conceitos estão estreitamente ligados à obtenção de um conjunto com um número mínimo de vetores que geram um espaço vetorial V. Na verdade, não é uma tarefa muito difícil encontrar um conjunto de geradores de um espaço que satisfaça essa condição. No entanto, quando é solicitado mais de um conjunto ou quando é necessário que identifiquemos, numa coleção de vetores, quais e quantos são suficientes e necessários para gerar um determinado espaço, o trabalho (braçal) pode se tornar cansativo e complicado. Se, por outro lado, conhecemos como os vetores se relacionam entre si, a tarefa torna-se mais simples e a compreensão da teoria mais rica.

Com este propósito, seguimos com os conceitos de dependência e independência linear de vetores.

Consideremos, apenas para introduzir os conceitos citados, V = R² e os vetores u = (1, 1) e v = (2, 2). Como já visto no exemplo 1.3.7, o subespaço W gerado por u ou v ou ambos é

W = {(x, y) Î R² / y = x}

que representa a reta bissetriz dos quadrantes ímpares.

Geometricamente os vetores u e v encontram-se sobre a mesma reta suporte,

comb_l2.gif (791 bytes)

e v = 2u Þ v – 2u = 0.

Tomemos agora os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1). Sabemos, por 1.3.8, que eles geram o R² e que não são múltiplos. Isto é,

bi ¹ aj para todo a, b Î R*,

de forma que

bi – aj ¹ 0

bi + cj ¹ 0 se b ¹ 0 e c ¹ 0.

No primeiro caso, v – 2u = 0, é possível obter o vetor nulo através de uma combinação linear, com escalares não todos nulos, dos vetores v e u. No segundo, bi + cj = 0 somente se b = c = 0. Dizemos, então, que os vetores v e u são linearmente dependentes e que os vetores i e j são linearmente independentes, significando que u e v estão relacionados entre si através de uma combinação linear, e que i e j não se relacionam por uma combinação linear.

Consideremos agora V = R³ e os vetores u = (1, 2, 3), v = (– 4, 1, 5) e w = (– 5, 8, 19). Procedendo como no exemplo 1.3.9 e conhecendo os subespaços de R³, temos que estes vetores geram um plano que passa pela origem ou o próprio R³ (pense no porquê disso). Tomando apenas 2 dos 3 vetores, por exemplo, u e v, obtemos o subespaço que estes dois geram:

ou seja, o subespaço gerado por u e v é o plano de equação 7x – 17y + 9z = 0. Substituindo as componentes de w na equação obtida temos:
7(– 5) – 17(8) + 9(19) = 0, ou seja, w também pertence a este plano. Isto significa que w é "criado" por u e v, ou melhor, existem escalares a e b tais que

w = a.u + b.v

Ao resolvermos o sistema obtemos:

w = 3u + 2v,

de forma que

w – 3u – 2v = 0.

Desta maneira, é possível obter o vetor nulo através de uma combinação linear dos vetores u, v e w sem que tenhamos que multiplicá-los todos por zero. De acordo com o anteriormente exposto, dizemos que os vetores u, v e w são linearmente dependentes.

Generalizando temos a seguinte definição:

1.3.11 Definição.

Sejam v₁, v₂, ..., v_n, vetores de um espaço vetorial V. Diz-se que o conjunto {v₁, v₂, ..., v_n} é linearmente independente (l.i.), ou que os vetores v₁, v₂, ..., v_n são l.i., se a equação

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0

implica que a₁ = a₂ = ... = a_n = 0. No caso em que a igualdade se verifique para algum a_i ¹ 0 diz-se que {v₁, v₂, ..., v_n} é linearmente dependente (l.d.), ou que os vetores v₁, v₂, ..., v_n são l.d.

1.3.12 Propriedades da dependência e independência linear

Propriedade 1. Um único vetor v é l.d. se e somente se v = 0.

Prova.

De fato, l .v = 0, " l ¹ 0. ¨

Propriedade 2. Um conjunto de vetores {v₁, v₂, ..., v_n} é l.d. se e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos outros.

Prova.

(Þ ) Sejam v₁, v₂, ..., v_n l.d. e consideremos a equação

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0.

Segundo a definição dada, ao menos um dos coeficientes é diferente de zero. Suponhamos a_j ¹ 0 para algum j.

Então

v_j =

e portanto

ou seja, v_j é uma combinação linear dos outros (n – 1) vetores.

(Ü ) Consideremos, para algum j, que v_j é uma combinação linear dos outros (n – 1) vetores do conjunto {v₁, ..., v_j, ..., v_n}. Então

v_j = b₁v₁ + ... + b_j-1v_j-1 + b_j+1 v_j+1 + ... + b_nv_n.

Daí

b₁v₁ + ... – 1v_j + ... + b_nv_n = 0 com b_j = – 1 ¹ 0 e,

{v₁, v₂, ..., v_n} é l.d.¨

Observações. Decorre dessa propriedade o que segue:

Dois vetores u e v são l.d. se e somente se um é múltiplo escalar do outro.
Por exemplo, os vetores (– 1, 1, 2) e (2, – 2, 4) são l.d. pois

(2, – 2, – 4) = – 2(– 1, 1, 2).

Três vetores em R³ são l.d. se e somente se são coplanares .

Prova.

(Þ ) Sejam u = (x₁, y₁, z₁), v = (x₂, y₂, z₂) e w = (x₃, y₃, z₃) vetores l.d. Então, pela propriedade 2, podemos escrever

w = au + bv,

ou seja, w = (ax₁ + bx₂, ay₁ + by₂, az₁ + bz₂). Daí, utilizando propriedades de determinante, temos:

Ou seja,

(u, v, w) =

o que prova que os vetores u, v e w são coplanares (propriedade de produto misto).

(Ü ) u, v e w são coplanares (hipótese), então (u, v, w) = 0.

Tomemos a equação

a₁u + a₂v + a₃w = 0.

Devemos provar que a_i ¹ 0 para algum i = 1, 2, 3.

Da equação resulta o sistema homogêneo

que tem a representação matricial

Observemos que a matriz A dos coeficientes é tal que

det (A) = (u, v, w)^t = 0

Assim o sistema é compatível e indeterminado, o que significa que tem infinitas soluções. Portanto os escala-

res a_i não são obrigatoriamente todos nulos e os vetores u, v e w são l.d.¨

Para verificar a dependência ou independência linear de 3 vetores em R³ podemos utilizar o enunciado anterior na forma:

Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 3), v = (– 2, 1 ,– 3) e w = (1, 0, 1) são l.d. pois

Também podemos pensar da seguinte forma: u e v são colineares (pois são múltiplos). Então, não importa como seja definido w, pela propriedade 2 sendo um dos vetores combinação linear dos outros, no caso, u = – 1v + 0w, temos que o conjunto {u, v, w} é l.d. ¨

Consideremos a matriz K, cujas linhas são formadas pelos vetores v₁, v₂, ..., v_n, ou seja,

e suponhamos que v_j = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_j-1v_j-1 + a_j+1v_j+1 + ... + a_nv_n.

Então pela propriedade 2, os n vetores dados são l.d. Vamos ver, neste caso, o que acontece com as linhas da matriz K.

Apliquemos sobre as linhas de K a seguinte sequência de operações elementares:

Observe que a linha ocupada pelo vetor v_j foi toda anulada.

Isto aconteceu porque a linha j da matriz K é uma combinação linear das outras linhas. Assim, para mostrarmos que um conjunto é l.d. basta anularmos, através de operações elementares, ao menos uma linha de K. Ainda, o número de vetores l.i. corresponde ao número de linhas que não se anulam em K.

Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 1, 3), v = (1, 0, – 1, 2), w = (1, 3, – 1, 1) e t = (– 1, 2, 1, 0) são l.i. pois nenhuma linha de K pode ser anulada:

Nota. Não é necessário realizar operações elementares sobres as linhas de K até chegar (ou tentar chegar) na matriz identidade pois isto é válido somente para matrizes quadradas. As operações podem ser suspensas quando for possível garantir que nenhuma linha se anula ou que mais nenhuma se anula. No exemplo da observação , a terceira matriz já garante isso pois os elementos k₁₁, k₂₂, k₃₄ e k₄₃ não podem ser anulados.

Exemplo. Retomemos o enunciado do exemplo 1.3.9. Podemos utilizar a última observação para determinar o plano W gerado pelos vetores (1, 1, 2) e (2, – 1, 1). Seja u = (x, y, z) um vetor qualquer do plano W. Então u é uma combinação linear dos vetores dados, de forma que a última linha da matriz , após serem aplicadas operações elementares convenientes, deve se anular. Vejamos como fazer isto:

Aqui, – x – y + z = 0, ou seja,

W = {(x, y, z) Î R³/ x + y – z = 0}. ¨

Propriedade 3. Um conjunto de n vetores em R^m é sempre l.d. se n > m.

Prova.

Sejam v₁, v₂, ..., v_n vetores em R^m e consideremos escalares a₁, a₂, ...,a_n, tal que

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0 (A)

Tomemos v_i = (x_1i, x_2i, ..., x_mi), i = 1, 2, ..., n. A equação anterior resulta no sistema linear homogêneo

que tem m equações e n incógnitas. Se n > m, temos um sistema compatível e indeterminado, ou seja, ele admite infinitas soluções. Assim, a equação (A) é válida com a_i ¹ 0 para algum i = 1, 2, ..., n, o que prova que os vetores v₁, v₂, ..., v_n são l.d.¨

Exemplo. Quatro vetores em R³ são l.d. Tomemos u = (2, – 3, 4), v = (4, 7, – 6), w = (18, – 11, 4) e t = (2, – 7, 3). A equação

a.u + b.v + c.w + d.t = 0

origina o sistema

que é compatível e indeterminado. Assim os escalares a, b, c e d não são todos nulos (obrigatoriamente) e os vetores u, v, w e t são l.d. (refaça este exemplo usando a matriz K da observação acima).¨

Propriedade 4. Um conjunto de vetores l.i. em Rⁿ contém, no máximo, n vetores.

Essa propriedade é uma conseqüência imediata da propriedade anterior (Propriedade 3).

Exemplo. Consideremos aqui os vetores do exemplo anterior.

Tomando os conjuntos unitários {u}, {v}, {w} e {t}, todos são l.i. (Propriedade 1).

Tomando o conjunto {u, v}, que contém 2 vetores, ele é l.i. pois u e v não são múltiplos.

O conjunto {u, v, t}, de 3 vetores, é tal que

ou seja, é l.i.

O conjunto {u, v, w, t}, como já vimos, é l.d.¨

Propriedade 5. Qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é l.d.

Prova.

Seja b = {v₁, v₂, ..., v_k, 0} um conjunto de vetores. Aqui não interessa se os k primeiros vetores são l.i. ou l.d. Independentemente disso a equação

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_kv_k + l .0 = 0

é verdadeira para a₁ = a₂ = ... = a_k = 0 e l um número real qualquer. Assim, pela definição 3, o conjunto b é l.d.¨

Propriedade 6. Seja A uma matriz quadrada e b o conjunto formado pelos vetores que compõem as linhas (ou colunas) de A. b é l.i. se, e somente se, det(A) ¹ 0.

Prova.

b é l.i Û Ax = 0 tem apenas a solução trivial x = 0

Û det (A) = 0.¨

Observação. Na prática a propriedade acima é utilizada para o caso de três vetores em R³.

Propriedade 7. Qualquer conjunto de n vetores l.i. em Rⁿ gera o Rⁿ.

Prova.

Seja b = { v₁, v₂, ..., v_n} um conjunto de n vetores l.i. em Rⁿ, onde v_i = (x_1i, x_2i, ..., x_ni). Para mostrar que b gera o Rⁿ devemos provar que todo vetor v = ( y₁, y₂ , ..., y_n) de Rⁿ se escreve como combinação linear dos vetores de b . Isto é, que existem escalares a₁, a₂, .., a_n tais que

v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n.

Substituindo os vetores nessa equação temos:

(y₁, y₂, ..., y_n) = a₁( x₁₁, x₂₁, ..., x_n1) + ... + a_n( x_1n, x_2n, ..., x_nn),

que resulta no sistema

A representação matricial do sistema é Ax = b, onde

Observemos que as colunas de A são formadas pelos vetores de b que, por hipótese, são l.i. Então pela Propriedade 6, det(A) ¹ 0. Assim, o sistema Ax = b é compatível e determinado, isto é, tem uma única solução . Isto mostra que v é uma combinação linear dos vetores de b.

Observação. Além de provarmos a propriedade também mostramos que os escalares a₁, a₂, ..., a_n são únicos. Isto será útil futuramente.

1.3.13 Exemplo. Três vetores l.i em R³ geram o R³. Sejam v₁ = (2, – 1, 4), v₂ = (1, 0, 2) e v₃ = (3, – 1, 5). Então:

de forma que b = {v₁, v₂, v₃} é um conjunto l.i. Assim, b gera o R³, ou seja, todo vetor v = (x, y, z) Î R³ se escreve (de forma única) como combinação linear dos vetores de b (mostre isso como exercício).

Convém lembrar o que isto significa: que o R³ é "criado" por estes três vetores. Na verdade, quaisquer três vetores l.i. do R³ "criam" o R³. Isto é o que afirma a Propriedade 7.

1.3.14 Exemplo. O conjunto a = {( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0), ( 1, 2, – 1), ( 3, 2, 1)} gera o R³ mas não é l.i., pois 4 vetores em R³ são l.d. (Propriedade 3). No entanto, se três vetores de a são l.i. então estes geram o R³ (Propriedade 7).

Podemos utilizar o procedimento dado na observação para obtermos de a os vetores l.i. que ali estão.

Observemos que os elementos k₁₁, k₂₃ e k₃₂ não podem ser zerados, de forma que as linhas 1, 2 e 3 não se anulam. Estas linhas correspondem, respectivamente, aos vetores ( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0) e ( 1, 2, – 1) de a . Assim

a₁ = {( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0), ( 1, 2, – 1)}

é um conjunto l.i. de 3 vetores que geram o R³. Podemos tomar os vetores resultantes, de modo que

a₂ = {(1, 3, – 1), ( 0, 0, 2), ( 0, – 1, 0)}

também é um conjunto l.i. de 3 vetores que geram o R³.

1.3.15 Exemplo. Quando o espaço em questão não é o Rⁿ, como no caso das matrizes e de polinômios, para verificar a dependência linear (ou independência) de vetores nestes espaços, utilizamos dos recursos exibidos nos itens seguintes:

a) Sejam vetores de M₂₃.

1^a Possibilidade: (definição)

Escrevemos a equação

a₁A₁ + a₂A₂ + a₃A₃ = 0

E procuramos os valores de a₁, a₂ e a₃:

é equivalente ao sistema

cuja única solução é a₁ = a₂ = a₃ = 0 (façam como exercício).

Assim o conjunto {A₁, A₂, A₃} é l.i.

2^a Possibilidade: Seja

a matriz cujas linhas são formadas por A₁, A₂ e A₃. Tentemos, através de operações elementares sobre as linhas de K, zerar uma linha da matriz:

. Observemos que nenhuma linha pode ser zerada. Assim {A₁, A₂, A₃} é l.i.

Ainda, ao colocarmos os vetores nas linhas de K estamos relacionando cada vetor de M₂₃ com sêxtuplas ordenadas do R⁶. Sabemos que 6 vetores l.i. do R⁶ geram o R⁶, de forma que os 3 vetores, se considerados como sêxtuplas, (1, 0, 2, 3, 1, – 1),
(– 1, 1, 4, 2, 3, 0), (– 1, 0, 1, 1, 2, 1) não geram o R⁶. Da mesma forma podemos dizer que A₁, A₂ e A₃ não geram M₂₃ e que são necessários 6 vetores l.i. de M₂₃ para gerar M₂₃.

b) Podemos representar qualquer polinômio p(x) Î P_n por uma (n + 1)-upla de Rⁿ⁺¹ da seguinte forma:

p(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nx_n Û p(x) = (a₀, a₁, ..., a_n).

Assim, os polinômios

p₁(x) = 2 + 3x

p₂(x) = – 1 + 2x – x³

p₃(x) = 3x² + 2x³

p₄(x) = 3 – 4x³

podem ser representados pelas quádruplas ordenadas

v₁ = (2, 3, 0, 0)

v₂ = (– 1, 2, 0, – 1)

v₃ = (0, 0, 3, 2)

v₄ = (3, 0, 0, – 4).

Para verificar se os polinômios são l.i. ou l.d. trabalhamos em R⁴:

Observemos que os elementos da diagonal principal não podem ser zerados garantindo que nenhuma linha de K é zerada. Assim, os polinômios p₁(x), p₂(x), p₃(x) e p₄(x) são l.i. e, portanto, geram P₃.¨

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b é l.i	Û Ax = 0 tem apenas a solução trivial x = 0
	Û det (A) = 0.¨