1.3 COMBINAÇÃO LINEAR

 

 

ML.7 O arquivo (m-file) combo.m ilustra a combinação linear au + bv + cw. Entre com os vetores coluna do R2 u, v e w, e ainda três escalares a, b e c. Digite combo(u, v, w, a, b, c). Após cada pausa observe e utilize qualquer tecla para seguir.

a) v1 = (1, 2), v2 = (– 2, 3), v3 = (5, 4) , a = – 2, b = 2, c = – 1;

b) u = (– 1, 3), v = (1, 4), w = (2, – 1/3), a = – 1, b = 3, c = 2;

c) escolha mais 2 conjuntos de vetores e escalares.

 

ML.8 O m-file lincomb.m mostra que, sendo u, v, w Î R2, e u não paralelo a v, o vetor w pode ser escrito como combinação linear de u e v. Caso u seja paralelo a v, o algoritmo retorna uma mensagem de erro. Para utilizá-lo, informe os vetores coluna u, v e w, e digite lincomb(u, v, w). A cada pausa, acione qualquer tecla para seguir.

a) u = (2, 3), v = (4, – 1), w = (2/3, 3);

b) u = (1, 2), v = (– 1/2, – 1), w = (2, 1);

c) escolha u, v e w aleatórios (lembre: u = randint(2, 1)).

 

Retomando o conceito de combinação linear temos que v é combinação linear de v1, v2, ..., vn sse existem escalares a1, a2, ..., an tais que

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = v

o que pode ser representado, matricialmente, por

            Para encontrar os escalares a1, a2, ..., an, usamos algum método de resolução de sistemas lineares. Se existir solução, única ou não, significa que podemos escrever v como combinação linear dos vetores dados.

            Lembre-se: na matriz A, os vetores devem ocupar as colunas da matriz.

Exemplo: v1 = (1, 2, 1); v2 = (1, 0, 2) e v3 = (1, 1, 0). Verifiquemos se v é combinação linear de v1, v2, v3, sabendo que v = (2, 1, 5).

No MATLAB:

» A = [ 1 2 1; 1 0 2; 1 1 0]', b = [2 1 5]',

» rref([A b])

ans =

1     0      0       1
0     1      0       2
0     0      1    –1

            Temos que o sistema tem solução e, ainda, a1 = 1; a2 = 2 e a3 = – 1 são os escalares procurados. Verifique tal resultado fazendo a1v1 + a2v2 + a3v3.

            Pode-se utilizar, também, a rotina "reduce" na resolução do sistema linear.


ML.9 Usando o procedimento acima, verifique se em cada item, o vetor v é combinação linear dos elementos do conjunto S. Se for, expresse v em termos dos elementos de S.

a) S = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}; v = (0, 1, 1, 1);

b) S = ; v = ;

c) S = {(1, 2, 1), (3, 0, 1), (1, 8, 3)}; v = (– 2, 14, 4);

d) S = ; v = I2;

e) S = {2t2 – t + 1, t2 – 2, t – 1}; v = p(t) = 4t2 + t – 5;

 

ML.10 Em cada item, verifique se o vetor v Î S, onde
i) S = [(1, 1, 0, 1), (1, – 1, 0, 1) , (0, 1, 2, 1)]

a) v = (2, 3, 2, 3);

b) v = (2, – 3, – 2, – 3);

c) v = (0, 1, 2, 3);

 ii) S = [t – 1, t + 1, t2 + t + 1]

a) v = p(t) = t2 + 2t + 4;

b) v = p(t) = 2t2 + t – 2;

c) v = p(t) = – 2t2 + 1.

 

ML.11 Determine se cada conjunto é l.i. ou l.d.:

a) Q = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)};

b) S = ;

c) W =

 

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