Unidade 03
Autovalores e Autovetores
3.1 AUTOVALOR E AUTOVETOR DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Dado um operador linear T: V ® V, estaremos interessados, nesse capítulo, em saber quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmo, isto é, procuraremos um vetor v Î V e um escalar l Î
R tais queT(v) = l v. ( I )
Neste caso T(v) será um vetor de mesma "direção" que v, ou melhor, T(v) e v estão sobre a mesma reta suporte.
Como v = 0 satisfaz a equação ( I ) para todo l , estaremos interessados em determinar v ¹ 0 que satisfaça a condição acima. Tentaremos elucidar o exposto através dos exemplos que seguem.
3.1.1 Exemplos.
Exemplo 1. I :
R2 ® R2 (aplicação identidade)
(x,
y)
Neste caso, todo v = (x, y) Î
R2 é tal que I (v) = 1. v.¨
Exemplo 2. T
1: R2 ® R2 (reflexão no eixo Ox)(x, – y)
Aqui, u = (x, 0) é tal que T
1(u) = 1. u e v = (0, y) é tal que T1(v) = – 1. v.¨Ou seja, vetores que possuem uma componente nula são levados em um múltiplo de si mesmo.
Exemplo 3. T
2: R2 ® R2 / T2(x, y) = (4x + 5y, 2x + y).| a) T2(5, 2) = (30, 12) = 6(5, 2) b) T 2(2, 1) = (13, 5)c) T 2(– 5, – 2) = (– 30, – 12) = 6(– 5, – 2) |
d) T2(10, 4) = (60, 24) = 6(10,4) e) T 2(– 5/2, – 1) = (– 15, – 6) = 6(– 5/2, – 1) |
| f) Quais vetores dos itens anteriores são levados por T2 a um múltiplo de si mesmo? (a), (c), (d) e (e).¨ |
A fim de encontrarmos os vetores v Î V e os escalares l Î
R citados em ( I ), bem como denominá-los, seguimos com a definição:
3.1.2 Definição.
Seja T: V® V um operador linear. Um vetor v Î V, v ¹ 0, é um autovetor de T se existe l Î
R tal queT(v) = l v.
O número real l é denominado autovalor de T associado ao autovetor v.
3.1.3 Exemplo. No exemplo 2, do item 3.1.1, um vetor do tipo u = (x, 0) é um autovetor de T
1 associado ao autovalor l1 = 1, poisObservação. Sempre que um vetor v é autovetor de um operador linear T associado ao autovalor l , isto, é T(v) = l v, o vetor kv, para qualquer real k ¹ 0, é também um autovalor de T associado ao mesmo l . De fato:
T( kv )= k T(v) = k. (l v) = l (kv).
Isto pode ser visto, por exemplo, nos itens (a), (c), (d) e (e) do exemplo 3, item 3.1.1.
É comum tomarmos um representante de cada conjunto de autovetores associados a um único valor de l . Por exemplo, se temos T(x, 0) = 1. (x, 0), isto é, u = (x, 0) é autovetor associado ao autovalor l
1 = 1, tomamos v1 = (1, 0) , ou outro, para representar o conjunto W, ondeA interpretação geométrica, em
R2, de autovetores de um operador linear T é dada a seguir:
u é autovetor de T pois $ l Î R / T(u) = l u.
v não é autovetor de T pois 1 l Î R / T(v) = l v.
3.2 DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES
Para determinar os autovalores e autovetores de um operador linear T:V® V usamos a sua representação matricial.
Seja A a matriz canônica de T, de forma que TA(v) = Av. Então, autovalores l de A e autovetores vl de V são soluções da equação Av = l v. Ou seja:
Av = l v Û Av – l Iv = 0 Û (A – l I)v = 0,
onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A. Observamos que a última equação, (A – l I)v = 0, representa um sistema homogêneo, que é sempre compatível, cuja solução desejada, conforme definição, é a não-trivial, ou seja, v ¹ 0. Assim, devemos ter o sistema em questão como compatível e indeterminado, de forma que
det(A – l I) = 0 .
As raízes da equação det(A – l I) = 0, chamada equação característica de A (ou de T), são os autovalores de A (ou de T). Para cada autovalor l , corresponde um conjunto W = {v Î V / Av = l v} de autovetores, que é obtido pela solução da equação Av = l v ou, equivalentemente, da equação (A – l I)v = 0.
3.2.1 Exemplo. Consideremos o operador linear definido no exemplo 3, item 3.1.1: Resolvemos a equação característica det (A – l
I) = 0:
T: R2 ® R2
(x, y) (4x + 5y, 2x
+ y)
,
matriz canônica de T. 
| det (A – l I) = 0 Û (4 – l ) (1 – l ) – 10 = 0 | Û l 2 – 5l – 6 = 0 |
| Þ l1 = – 1 e l2 = 6. |
Para cada autovalor l encontrado, resolvemos o sistema linear (A – l I)v = 0:
Então, 
= (– y,
y) sendo um de seus representantes o vetor v
Então 
= (
y, y) sendo um
de seus representantes o vetor v
, 1).
Observe que:
T() = T(– y,
y) = – 1. (– y, y) e
T(
)= T(
y, y) = 6. (
y, y).
3.2.2 Exemplo. 
não são reais, e dizemos que A
não possui autovalores reais.Observação. Se estivéssemos trabalhando com espaços vetoriais complexos, e não somente em espaços vetoriais reais como definimos no início de nosso estudo, todos os operadores teriam autovalores e autovetores, uma vez que todo polinômio sempre admite raiz.
3.2.3 Exemplo. 
Então, 
l
3 = – 1; origina o autovetor
= (z, 
z, z), sendo um de seus representantes o autovetor v3 = (1, 
, 1).
3.2.4 Exemplo. 
Para resolver tal equação e procurando soluções inteiras, na expectativa de que existam, usamos um importante teorema da álgebra que diz:
1l n-1 + .. + c1l + c0 = 0," Se equação polinomial
ln + cn-
com coeficientes
inteiros e coeficiente do termo de maior grau valendo 1, tem uma raiz inteira então essa
raiz é um divisor do termo
independente c0."
Na equação em questão, o coeficiente de l
3 é 1 e os divisores do termo independente são ± 1.Verifiquemos, por Ruffini, se um desses valores é solução da equação. Comecemos com l = – 1.
l
2 + 2l + 1 = 0
l1 =
– 1 é uma das raízes e as outras são raízes da equação l2 + 2l + 1 = 0, que
são l2
= – 1 e l3 = – 1. Os valores l1, l2 e l3 são os autovalores de A.
l
Observemos que apenas um vetor l.i. é encontrado. Dessa forma, não é possível formar uma base de autovetores de A (ou de T) para R3.¨
3.2.5 Exemplo. T: R3 ® R3 linear / T(a, b, c) = (a
+ 2c, – a + c, a + b + 2c).
l
3 – 3l2 – l + 3 = 0.
Temos l1
= – 1, l2 = 1 e l3 = 3.
= (x,
2x, – x); um deles: v1 = (1, 2, – 1)
l2 =
1; 
= (–
y, y, 0 ); um deles: v2 = (– 1, 1, 0)
l3 =
3; 
= ( x,
0, x ); um deles: v3
= (1, 0, 1).¨
Observemos que, também nesse caso, é possível escrever uma base para o R3 de autovetores de A (ou de T).
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