Autovalores e Autovetores (Gabarito)

3.1 AUTOVALORES E AUTOVETORES

3.2 DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES (GABARITO)

RE.73 Sabemos (pela definição) l v = Av, onde l = autovalor de A e v = autovetor associado a l .

Se l₁ = – 2 e = (3y, y), temos:

Se l₂ = 3 e = (– 2y, y), temos:

De e , concluímos que a = 0; b = – 6; c = – 1 e d = 1.

Logo, .

RE.74

a)

det(A – l I) = 0 Þ

(1 – l )² – 2 = 0 Þ l² – 2l – 1 = 0 Þ

· Para :

(A – l I)v = 0

\

· Para

.

b)

l₁ = l₂ = l₃ = 1

= (a, b, c); a, b, c Î R, não simultaneamente nulos.

\ = at² + bt + c; a, b, c Î R, não simultaneamente nulos.

c)

A matriz que representa T é

det(M – l I) = 0

(l – 1) (l³ – l² – l + 1) = 0 Þ l₁ = l₂= l₃ = 1; l₄ = – 1.

Para l₁ = l₂ = l₃ = 1, temos v = (a, b, c, d) /

\ ; a, b, d Î R*, ou seja,; a, b, d Î R*, com a, b e c não simultaneamente nulos.

Para l₄ = – 1, temos:

\ ; c Î R^* ou ; c Î R*.

RE.75

· Para A:

l₁ = 2; = (x, x); x Î R*

l₂ = – 1; = (– 2y, y); y Î R*.

· Para A^–1:

l₁ = – 1; = (– 2y, y); y Î R*

l₂ = ; = (x, x); x Î R*.

RE.76

a)

a)

b) Autovalores e respectivos autovetores:

l₁ = 1; = (x, 0, 0); x Î R*

l₂ = – 2; y Î R*

l₃ = – 3, z Î R*

b) Autovalores e respectivos autovetores:

l₁ = 1; = (x, 0, 0); x Î R*

l₂ = – 2; = (x, 3x, 0); x Î R*

l₃ = – 3, z Î R*

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